Appunti di matematica

1.1 Cenni di logica elementare......Page 9 1.2 Richiami di insiemistica......Page 12 1.3 Insiemi numerici......Page 15 1.4 Topologia della retta reale......Page 19 1.5 L'infinito......Page 23 1.6 Punti di accumulazione......Page 25 1.7 Appendice: la dimostrazione per induzione......Page 26 1.8 Appendice: una costruzione dei numeri reali......Page 28 1.9 I numeri complessi......Page 32 2 Funzioni fra insiemi......Page 39 2.1 Operazioni sulle funzioni......Page 46 2.2 Funzioni monotòne e funzioni periodiche......Page 49 2.3 Grafici cartesiani......Page 50 2.4 Alcune (cosiddette) funzioni elementari......Page 51 3.1 Successioni e loro limiti......Page 55 3.2 Successioni e insiemi......Page 63 3.3 Proprietà asintotiche delle successioni......Page 65 3.5 Sottosuccessioni......Page 69 3.6 Il numero e di Nepero......Page 71 3.7 Appendice: successioni di Cauchy......Page 72 3.8 Appendice: massimo e minimo limite di una successione......Page 73 3.9 Appendice: convergenza secondo Cesàro......Page 75 4 Serie numeriche......Page 79 4.1 Serie a termini positivi......Page 84 4.2 Criteri di convergenza......Page 86 4.3 Convergenza assoluta e convergenza delle serie di segno alterno......Page 90 5.1 Limiti di funzioni come limiti di successioni......Page 93 5.2 Traduzione dei teoremi sulle successioni......Page 97 5.3 Raccolta di limiti notevoli......Page 99 5.4 Continuità......Page 101 5.6 Infinitesimi ed infiniti equivalenti......Page 105 5.7 Teoremi fondamentali per le funzioni continue......Page 107 5.8 Massimi e minimi......Page 110 5.9 Punti di discontinuità......Page 114 5.10 Appendice: limite inferiore e superiore per una funzione......Page 116 6.1 Variazioni infinitesime......Page 119 6.2 Il calcolo delle derivate......Page 122 6.3 I teoremi fondamentali del calcolo differenziale......Page 127 6.4 Punti singolari......Page 133 6.5 Applicazioni allo studio delle funzioni......Page 134 6.6 Derivate successive......Page 136 6.8 Grafici di funzioni......Page 141 6.9 Il teorema di De l'Hospital......Page 144 6.10 Il polinomio di Taylor......Page 148 7 Integrale di Riemann......Page 157 7.1 Partizioni del dominio......Page 158 7.2 Continuità uniforme......Page 167 7.3 Teorema fondamentale del calcolo......Page 170 7.5 Applicazioni al calcolo degli integrali definiti......Page 174 7.6 Cenni sulla ricerca delle primitive......Page 175 7.7 Il differenziale......Page 179 7.8 Integrazione delle funzioni razionali fratte......Page 181 7.9 Il polinomio di Taylor con resto integrale......Page 185 7.10 Integrali impropri......Page 187 7.10.1 Funzioni illimitate......Page 188 7.10.2 Funzioni definite su intervalli illimitati......Page 190 7.11 Relazione fra serie ed integrazione......Page 191 7.12 Una definizione integrale delle funzioni goniometriche elementari......Page 193 8 Equazioni differenziali ordinarie......Page 197 8.1 Equazioni differenziali lineari del primo ordine......Page 198 8.2 Equazioni del primo ordine a variabili separabili......Page 201 8.3 La funzione esponenziale come soluzione di EDO......Page 207 8.4 Equazioni lineari del secondo ordine......Page 209 9.1 Interpolazione polinomiale......Page 215 9.2 Integrazione numerica......Page 219 9.3 Risoluzione approssimata delle equazioni......Page 225 9.3.1 Il metodo di bisezione......Page 226 9.3.3 Il metodo delle secanti, o della regula falsi......Page 227 Epilogo......Page 229 Bibliografia......Page 237