Classical & Quantum Chaos

Contributors......Page 3 Acknowledgements......Page 10 Overture......Page 15 Why this book?......Page 16 Chaos ahead......Page 17 The future as in a mirror......Page 18 A game of pinball......Page 23 Chaos for cyclists......Page 27 Evolution......Page 33 From chaos to statistical mechanics......Page 35 Guide to literature......Page 37 Dynamical systems......Page 45 Flows......Page 49 Infinite-dimensional flows......Page 52 Poincaré sections......Page 63 Constructing a Poincaré section......Page 66 Do it again......Page 67 Flows transport neighborhoods......Page 75 Linear flows......Page 77 Stability of flows......Page 81 Stability of maps......Page 84 Stability of periodic orbits......Page 85 Neighborhood of a cycle......Page 88 Hamiltonian flows......Page 93 Billiards......Page 95 Stability of billiards......Page 98 Changing coordinates......Page 105 Rectification of flows......Page 106 Rectification of maps......Page 108 Smooth conjugacies and cycle stability......Page 110 Measures......Page 115 Perron-Frobenius operator......Page 117 Invariant measures......Page 119 Density evolution for infinitesimal times......Page 123 Dynamical averaging......Page 133 Evolution operators......Page 139 Lyapunov exponents......Page 141 Why not just run it on a computer?......Page 145 Itineraries......Page 151 Stretch and fold......Page 157 Going global: Stable/unstable manifolds......Page 158 Temporal ordering: itineraries......Page 160 Spatial ordering......Page 162 Topological dynamics......Page 164 Symbolic dynamics, basic notions......Page 167 Counting itineraries......Page 175 Topological trace formula......Page 178 Determinant of a graph......Page 179 Topological zeta function......Page 184 Counting cycles......Page 185 Infinite partitions......Page 190 Shadowing......Page 191 Trace of an evolution operator......Page 203 A trace formula for maps......Page 205 A trace formula for flows......Page 207 An asymptotic trace formula......Page 210 Spectral determinants......Page 215 Spectral determinants for maps......Page 216 Spectral determinant for flows......Page 217 Dynamical zeta functions......Page 219 False zeros......Page 222 More examples of spectral determinants......Page 223 All too many eigenvalues?......Page 225 Why does it work?......Page 235 The simplest of spectral determinants: A single fixed point......Page 236 Analyticity of spectral determinants......Page 239 Hyperbolic maps......Page 246 Physics of eigenvalues and eigenfunctions......Page 250 Fixed points, and how to get them......Page 259 One-dimensional mappings......Page 260 d-dimensional mappings......Page 263 Flows......Page 264 Periodic orbits as extremal orbits......Page 268 Stability of cycles for maps......Page 277 Pseudocycles and shadowing......Page 285 Cycle formulas for dynamical averages......Page 291 Cycle expansions for finite alphabets......Page 295 Stability ordering of cycle expansions......Page 296 Dirichlet series......Page 299 Escape rates......Page 307 Flow conservation sum rules......Page 311 Correlation functions......Page 312 Trace formulas vs. level sums......Page 313 Rényi entropies......Page 321 Fractal dimensions......Page 326 Intermittency......Page 333 Intermittency everywhere......Page 334 Intermittency for pedestrians......Page 337 Intermittency for cyclists......Page 349 BER zeta functions......Page 354 Discrete symmetries......Page 363 Preview......Page 364 Discrete symmetries......Page 368 Dynamics in the fundamental domain......Page 370 Factorizations of dynamical zeta functions......Page 374 C2 factorization......Page 376 C3v factorization: 3-disk game of pinball......Page 378 Deterministic diffusion......Page 387 Diffusion in periodic arrays......Page 388 Diffusion induced by chains of 1-d maps......Page 392 Marginal stability and anomalous diffusion......Page 399 Irrationally winding......Page 409 Mode locking......Page 410 Local theory: ``Golden mean" renormalization......Page 416 Global theory: Thermodynamic averaging......Page 418 Hausdorff dimension of irrational windings......Page 420 Thermodynamics of Farey tree: Farey model......Page 422 Prologue......Page 431 Quantum pinball......Page 432 Quantization of helium......Page 434 Quantum mechanics, briefly......Page 437 WKB quantization......Page 441 Method of stationary phase......Page 443 WKB quantization......Page 444 Hamilton-Jacobi theory......Page 449 Semiclassical propagator......Page 457 Semiclassical Green's function......Page 461 Trace formula......Page 473 Semiclassical spectral determinant......Page 479 One-dimensional systems......Page 480 Two-dimensional systems......Page 482 Density of states......Page 489 Quantum mechanical scattering matrix......Page 493 Krein-Friedel-Lloyd formula......Page 494 Wigner time delay......Page 497 Helium atom......Page 503 Classical dynamics of collinear helium......Page 504 Semiclassical quantization of collinear helium......Page 516 Quantum eavesdropping......Page 529 An application......Page 535 Epilogue......Page 545 Index......Page 549 Chaos is born......Page 563 Chaos grows up......Page 567 Chaos with us......Page 568 Death of the Old Quantum Theory......Page 572 Infinite-dimensional flows......Page 575 Symplectic invariance......Page 579 Monodromy matrix for Hamiltonian flows......Page 580 Material invariants......Page 585 Koopmania......Page 586 Implementing evolution......Page 588 Topological zeta functions for infinite subshifts......Page 595 Prime factorization for dynamical itineraries......Page 603 Counting curvatures......Page 609 Newton-Raphson method......Page 613 Hybrid Newton-Raphson / relaxation method......Page 614 Evolution operator for Lyapunov exponents......Page 617 Advection of vector fields by chaotic flows......Page 621 Preliminaries and definitions......Page 629 C4v factorization......Page 634 C2v factorization......Page 638 Symmetries of the symbol square......Page 641 Curvature expansions: geometric picture......Page 643 On importance of pruning......Page 646 Ma-the-matical caveats......Page 647 Estimate of the nth cumulant......Page 648 Matrix-valued functions......Page 651 Operator norms......Page 653 Trace class and Hilbert-Schmidt class......Page 654 Determinants of trace class operators......Page 656 Von Koch matrices......Page 659 Regularization......Page 661 The thermodynamic limit......Page 665 Ising models......Page 667 Fisher droplet model......Page 671 Scaling functions......Page 676 Geometrization......Page 679 Quantum formulation of the noise problem......Page 693 Periodic orbits as integrable systems......Page 697 The Birkhoff normal form......Page 701 Bohr-Sommerfeld quantization of periodic orbits......Page 702 Quantum calculation of corrections......Page 704 Benny Lautrup......Page 713 Professor Gatto Nero......Page 714 Solutions......Page 715 Projects......Page 739 Deterministic diffusion, zig-zag map......Page 741 Deterministic diffusion, sawtooth map......Page 748