Geometria Algebra

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Le richieste di riproduzione vanno inoltrate ali' Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere a Stampa (AIDROS), via delle Erbe 2, 20121 Milano, te!. 02/86463091, fax 02/89010863 Stampato in Italia dalla Stampatre di Torino ISBN 88-339-5586-9 Titolo originale Algebra Operazioni tra matrici 1 Le operazioni fondamentali, I 2 Riduzione per righe, l O 3 Determinanti, 21 4 Matrici di permutazione, 29 5 La regola di Cramer, 33 Esercizi, 36 2 Gruppi 1 Definizione di gruppo, 45 2 Sottogruppi, 52 3 Isomorfismi, 57 4 Omomorfismi, 60 5 Relazioni di equivalenza e partizioni, 62 6 Classi laterali, 67 7 Restrizione di un omomorfismo a un sottogruppo, 70 8 Prodotti di gruppi, 72 9 Aritmetica modulare, 75 10 Gruppi quoziente, 78 Esercizi, 82 3 Spazi vettoriali 1 Spazi vettoriali reali, 94 2 Campi astratti, 98 3 Basi e dimensione, 104 4 Calcoli con le basi, 113 5 Spazi di dimenzione infinita, 119 6 Somme dirette, 122 Esercizi, 124 IX XI xv 1 45 94 VI 4 Applicazioni lineari l La formula della dimensione, 131 2 La matrice di un'applicazione lineare, 134 3 Operazioni lineari e autovettori, 138 4 Il polinomio caratteristico, 143 5 Matrici ortogonali e rotazioni, 148 6 Diagonalizzazione, 155 7 Sistemi di equazioni differenziali, 159 8 L'esponenziale di una matrice, 165 Esercizi, 172 5 Simmetria 1 Simmetria delle figure piane, 185 2 Il gruppo dei movimenti del piano, 187 3 Gruppi finiti di movimenti, 193 4 Gruppi discreti di movimenti, 198 5 Simmetria astratta: azioni di un gruppo, 208 6 L'azione sulle classi laterali, 212 7 La formula delle classi, 214 8 Rappresentazioni mediante permutazioni, 216 9 Sottogruppi finiti del gruppo delle rotazioni, 218 Esercizi, 223 6 Ulteriori proprietà dei gruppi l Le azioni di un gruppo su se stesso, 234 2 L'equazione delle classi del gruppo icosaedrale, 238 3 Azioni sui sottoinsiemi, 241 4 I teoremi di Sylow, 243 5 I gruppi di ordine 12, 248 6 Calcoli nel gruppo simmetrico, 250 7 Il gruppo libero, 258 8 Generatori e relazioni, 261 9 L'algoritmo di Todd-Coxeter, 265 Esercizi, 272 7 Forme bilineari 1 Definizione di forma bilineare, 282 2 Forme simmetriche: ortogonalità, 288 3 La geometria associata a una forma positiva, 294 4 Forme hermitiane, 296 5 Il teorema spettrale, 300 6 Coniche e quadriche, 303 7 Il teorema spettrale per operatori normali, 307 8 Forme antisimmetriche, 309 9 Sommario dei rìsultati, in notazione matriciale, 310 Esercizi, 312 Indice 131 185 234 282 Indice 8 Gruppi lineari l I gruppi lineari classici, 321 2 Il gruppo unitario speciale SU,, 323 3 La rappresentazione ortogonale di SU2, 328 4 Il gruppo lineare speciale SL2(R), 334 5 Sottogruppi a un parametro, 336 6 L'algebra di Lie, 340 7 Traslazione in un gruppo, 347 8 Gruppi semplici, 351 Esercizi, 356 VII 321 9 Rappresentazioni di gruppi 365 l Definizione di rappresentazione di un gruppo, 365 2 Forme G-invarianti e rappresentazioni unitarie, 368 3 Gruppi compatti, 371 4 Sottospazi G-invarianti e rappresentazioni irriducibili, 373 5 Caratteri, 376 6 Le rappresentazioni mediante permutazioni e la rappresentazione regolare, 382 7 Le rappresentazioni del gruppo icosaedrale, 384 8 Rappresentazioni di dimensione uno, 386 9 Lemma di Schur, e dimostrazione delle relazioni di ortogonalità, 387 10 Rappresentazioni del gruppo SU2, 392 Esercizi, 398 10 Anelli 1 Definizione di anello, 410 2 Costruzione formale degli interi e dei polinomi, 413 3 Omomorfismi e ideali, 419 4 Anelli quoziente e relazioni in un anello, 426 5 Aggiunzione di elementi, 431 6 Domini di integrità e campi di frazioni, 437 7 Ideali massimali, 439 8 Geometria algebrica, 442 Esercizi, 449 11 Fattorizzazione 1 Fattorizzazione di interi e polinomi, 461 410 461 2 Domini a fattorizzazione unica, domini a ideali principali, domini euclidei, 464 3 Il lemma di Gauss, 472 4 Fattorizzazione esplicita dei polinomi, 476 5 Primi nell'anello degli interi di Gauss, 480 6 Interi algebrici, 484 7 Fattorizzazione nei campi quadratici immaginari, 490 8 Fattorizzazione degli ideali, 495 9 La relazione tra gli ideali primi di R e i numeri primi, 502 IO Classi di ideali nei campi quadratici immaginari, 503 11 Classi quadratici reali, 512 12 Alcune equazioni diofantee, 516 Esercizi, 520 VIII 12 Moduli I Definizione di modulo, 532 2 Matrici, moduli liberi, basi, 534 3 Il principio di permanenza delle identità, 538 4 Diagonalizzazione delle matrici intere, 540 5 Generatori e relazioni per i moduli, 547 6 Il teorema di struttura per i gruppi cebeliani, 556 7 Applicazione agli operatori lineari, 561 8 Moduli liberi su anelli di polinomi, 568 Esercizi, 569 13 Campi 1 Esempi di campi, 580 2 Elementi algebrici e trascendenti, 581 3 Grado di un'estensione di campi, 585 4 Costruzioni con riga e compasso, 589 5 Aggiunzione simbolica di radici, 596 6 Campi finiti, 599 7 Campi di funzioni, 606 8 Estensioni trascendenti, 617 9 Campi algebricamente chiusi, 619 Esercizi, 623 14 Teoria di Galois I Il teorema fondamentale della teoria di Galois, 630 2 Equazioni di terzo grado, 636 3 Funzioni simmetriche, 641 4 Elementi primitivi, 647 5 Dimostrazione del teorema fondamentale, 651 6 Equazioni di quarto grado, 655 7 Estensioni di Kummer, 662 8 Estensioni ciclotomiche, 664 9 Equazioni di quinto grado, 668 Esercizi, 673 Appendice Nozioni di base 1 Teoria degli insiemi, 686 2 Tecniche di dimostrazione, 691 3 Topologia, 696 4 Il teorema delle funzioni implicite, 700 Esercizi, 702