作用素環入門 I・II , 関数解析とフォン・ノイマン環, C*環とK理論

作用素環は量子力学の数学的性質を論じるためにvon Neumannによってつくられた数学的概念である。その本質は無限次元線形代数であるが、位相を駆使して無限を調教することで、従来の数学にはない新しい世界が切り拓かれる。本書と先に刊行された『作用素環入門1―関数解析とフォン・ノイマン環』は関連諸分野での現代的な関心も見据えた作用素環の入門書である。本巻では、作用素環のうちでもとりわけ関心の強いC*環について、1巻と独立しても読めるようにまとめてある。C*環の個々の具体例をそれぞれに固有な道具立てとともに紹介することが目標である。本書の最後では、K理論の基礎部分を簡単に紹介し、先に紹介した具体的C*環でK群の計算をおこなう。ここでの議論に親しめば、C*環を用いた非可換複素ベクトル束の記述が自然な数学的対象であることがわかるだろう。 生西・中神,作用素環入門I ― 関数解析とフォン・ノイマン環,2007,岩波書店 はじめに 目次 1 関数解析からの準備 1.1 ベクトル空間上の位相 1.1.1 局所凸空間 1.1.2 有向系と無限和 1.1.3 直和 1.2 線形作用素 1.2.1 線形写像 1.2.2 線形汎関数 1.2.3 Banach環 1.2.4 スペクトル 1.3 Hahn-Banachの定理 1.4 弱*位相とMackey位相 1.4.1 弱位相と弱*位相 1.4.2 線形写像の列 1.4.3 Mackey位相 1.5 一様有界性定理と開写像定理 1.6 Hilbert空間 1.6.1 Hilbert空間の定義 1.6.2 Rieszの定理 1.7 Hilbert空間上の有界線形作用素 1.7.1 半双線形汎関数の極分解 1.7.2 随伴作用素 1.8 C*環の定義 1.8.1 Banach*環とC*環 1.8.2 イデアルと準同型と表現 1.8.3 コンパクト作用素環 1.8.4 Calkin環 1.9 Banach環におけるスペクトル 1.10 可換Banach環のGelfand表現 1.11 可換C*環のGelfand表現 1.12 コンパクト凸集合 1.12.1 Kreĭn-Milmanの定理 1.12.2 閉凸包の性質 1.13 C*環の正錐 1.14 正線形汎関数と巡回表現 1.14.1 Banach*環上の正線形汎関数 1.14.2 多元環の表現とGNS構成法 1.14.3 包絡C*環と群C*環 1.14.4 Gelfand-Naimarkの定理 1.15 既約表現と純粋状態 2 von Neumann環 2.1 von Neumann環の定義 2.1.1 \mathscr{L} (\mathscr{H}) 上の弱位相と定義 2.1.2 \mathscr{L} (\mathscr{H}) の局所凸位相 2.1.3 \mathscr{L} (\mathscr{H}) と \mathscr{L} (\mathscr{H})_* の双対ペア 2.1.4 von Neumann環の特徴づけ 2.1.5 Kaplanskyの稠密性定理 2.2 スペクトル分解とトレイス類 2.2.1 スペクトル分解 2.2.2 σ弱閉イデアルと加群と因子環 2.2.3 巡回ベクトルと分離ベクトル 2.2.4 トレイス類 2.2.5 Schmidt類 2.3 正線形汎関数とW*環 2.3.1 正規正線形汎関数 2.3.2 線形汎関数の極分解 2.3.3 普遍包絡 von Neumann環 2.3.4 W*環 2.3.5 表現の準同値 2.4 可換 von Neumann環 2.5 von Neumann 環とC*環のテンソル積 2.5.1 von Neumann環のテンソル積 2.5.2 Banach空間のテンソル積 2.5.3 C*環のテンソル積 2.5.4 von Neumann環のテンソル積の一意性 2.5.5 可換子環定理 2.6 von Neumann環の分類 2.6.1 射影とvon Neumann環の分類 2.6.2 I型 von Neumann環 2.6.3 自己同型群 2.6.4 有限 von Neumann環とトレイス 2.6.5 半有限 von Neumann環 2.7 因子環の例 2.7.1 群の表現の生成する因子環 2.7.2 接合積による因子環 2.7.3 von Neumann環の無限テンソル積 2.7.4 AFD因子環 2.7.5 充足的 von Neumann環 2.8 直積分分解の理論 2.8.1 Hilbert空間の直積分 2.8.2 von Neumann環の直積分 2.8.3 直積分の性質 2.8.4 von Neumann環の直積分分解 2.9 III型 von Neumann環の分類 2.9.1 Banach空間上の表現とスペクトル 2.9.2 荷重 2.9.3 冨田-竹崎理論 2.9.4 III型因子環の分類 付録A A.1 Kreĭnの定理 と Ryll-Nardzewski の定理 参考文献(第I巻) 索引 生西・中神,作用素環入門II ― C*環とK理論,2007,岩波書店 はじめに 目次 3 C*環の各論 3.1 準備 3.1.1 C*環の帰納極限 3.1.2 包絡C*環(II) 3.1.3 C*接合積 3.2 AF環 3.2.1 有限次元C*環とトレイス 3.2.2 C*環の次元域 3.2.3 有限次元C*環の増大列 3.2.4 AF環の特徴づけ 3.2.5 AF環のイデアル 3.2.6 次元群 3.2.7 UHF環 3.2.8 I型C*環 3.3 Fock空間 3.3.1 Fock空間 3.3.2 分布関数の再発見 3.4 自己双対CAR環 3.4.1 CAR環 3.4.2 自己双対CAR環 3.4.3 準自由状態の物理的同値関係による完全分類 3.5 Toeplitz環とCuntz環 3.5.1 Toeplitz環 3.5.2 C*環の拡大 3.5.3 Cuntz環 3.5.4 遺伝的部分C*環 3.5.5 無限C*環 3.5.6 Cuntz-Krieger環 3.6 無理数回転環 3.6.1 非可換トーラスの基本的性質 3.6.2 Kroneckerの流れのC*接合積 3.6.3 Hilbert C*加群と乗法子環 3.6.4 安定同型と強森田同値 3.6.5 無理数回転環の同型と安定同型 3.6.6 Genericな数 3.6.7 ランダムポテンシャル 3.6.8 非可換3次元球面 3.7 核型C*環 3.7.1 C*環上の完全正写像 3.7.2 核型C*環の定義 3.7.3 核型C*環の解析的特徴づけ 3.7.4 核型C*環の幾何学的特徴づけ 3.7.5 核型C*群環 3.7.6 \mathscr{O}_2 の部分C*環 3.7.7 完全C*環 3.8 C*環のK理論 3.8.1 K 群の定義 K_0群の定義 K_1群の定義 3.8.2 K 群の基本性質 連続性・ホモトピー不変性・半完全系列 指数写像 K 群の双対性 6項完全系列 Thom同型 3.8.3 離散C*接合積の6項完全系列 3.8.4 無理数回転環のK理論 3.8.5 Cuntz環のK理論 3.8.6 Kホモロジー 3.8.7 非可換微分構造 3.8.8 非可環トーラスの微分構造 付録A A.2 Weyl-von Neumannの定理 A.2.1 作用素の場合 A.2.2 C*環の場合 参考文献(第II巻) 索引