Leçons sur la théorie des fonctions

Le titre que j'ai cru devoir adopter est assez vague pour qu'il ne me semble pas inutile de donner quelques explications sur l'objet de ces Leçons (^). Les dimensions de ce petit livre me dispensent, je l'espère, de dire que ce n'est point un Traité complet sur une branche des Mathématiques dont l'étendue s'accroît chaque jour. Ce n'est pas non plus un exposé nouveau des principes de la théorie; ces principes, rendus classiques en France par la publication du célèbre Cours autographié de M. Hermite, ont été exposés depuis dans plusieurs Ouvrages (-), qu'il n'y a pas lieu de remplacer. Page de titre......Page 1 PREFACE DE LA DEUXIÈME ÉDITION......Page 3 PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION......Page 7 INDEX......Page 9 CHAPITRE I. - Notions générales sur les ensembles......Page 11 La notion de puissance......Page 12 Les ensembles dénombrables......Page 16 Comparaison des ensembles dénombrables avec les autres ensembles......Page 22 Les ensembles qui ont la puissance du continu......Page 26 Généralités sur les nombres algébriques......Page 31 L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable......Page 33 Les recherches de Liouville......Page 36 L'approximation des nombres incommensurables......Page 39 Les ensembles parfaits......Page 44 Les ensembles parfaits qui ne sont denses dans aucun intervalle......Page 40 Les ensembles mesurables......Page 56 La définition du prolongement analytique......Page 61 Un théorème de Poincaré......Page 63 Remarque de Weierstrass sur les séries de fonctions uniformes......Page 67 CHAPITRE V. - Sur la convergence de certaines séries réelles......Page 72 Séries à une seule variable......Page 73 Séries à deux variables......Page 79 Courbes de convergence uniforme......Page 82 CHAPITRE VI. - La notion de fonction d'une variable complexe......Page 90 Fonctions analytiques et expressions analytiques......Page 91 Le théorème de Mittag-Leffler......Page 95 Les représentations analytiques connues......Page 98 Remarque sur les séries de fractions rationnelles......Page 100 Étude de certaines séries de fractions simples......Page 103 Propriétés essentielles des séries étudiées. - Conclusion......Page 108 L'égalité et l'inégalité des puissances......Page 112 La formation d'ensembles ayant ùes puissances de plus en plus grandes......Page 117 La puissance des ensembles de fonctions......Page 119 Le théorème de Paul du Bois-Heymond......Page 121 La formation d'une échelle de types croissants......Page 124 Les nombres de M. G. Cantor......Page 129 Les fonctions discontinues......Page 133 Les fonctions définies par des conditions dénombrables......Page 136 La notion de fonction arbitraire......Page 142 A propos de l' « infini nouveau »......Page 145 L'antinomie du transfini......Page 152 Le continu bien ordonné d'après M. Zermelo......Page 157 Cinq lettres sur la théorie des ensembles......Page 160 Sur les principes de la théorie des ensembles......Page 170 Les « Paradoxes » de la théorie des ensembles......Page 172 La Philosophie mathématique et l'infini......Page 176 L'infini mathématique et la réalité......Page 184 Les probabilités dénombrables......Page 192 Les fractions décimales......Page 204 Les fractions continues......Page 211 Sur un problème de probabilités relatif aux fractions continues......Page 220 Hemarques historiques......Page 227 Nombres calculables......Page 229 Les fonctions calculables et les fonctions à définition asymptotique......Page 233 Les ensembles mesurables......Page 235 Le premier théorème fondamental......Page 238 La mesure des ensembles bien définis......Page 239 Le second théorème fondamental......Page 246 Les ensembles à points multiples......Page 248 Les ensembles de mesure nulle......Page 250 La définition des fonctions bornées et le troisièrne théorème fondamental......Page 252 La définition de l'intégrale des fonctions bornées......Page 254 Les propriétés de l'intégrale des fonctions bornées......Page 256 L'intégration des fonctions non bornées......Page 258 Comparaison avec l'intégrale de M. Lebesgue......Page 260 Le calcul par la définition......Page 263 L'emploi des probabilités dénombrables......Page 264 Complément aux Notes V et VI......Page 265