Math 845 Notes on Lie Groups

Hamiltion's quaternions......Page 3 The Lie group S3......Page 4 Binary Tetrahedral and Octahedral groups......Page 7 The exponential map for S3......Page 9 The orthogonal and special orthogonal groups......Page 10 `39`42`"613A``45`47`"603ASO3 and quaternions......Page 12 The exponential diagram......Page 15 Introduction to Manifolds......Page 16 Manifolds defined by equations......Page 18 Lie groups: definition and first examples......Page 19 The tangent bundle of a manifold......Page 21 The tangent bundle of a Lie group......Page 23 One-parameter-subgroups......Page 24 The exponential map......Page 27 The Adjoint representation......Page 30 The product rule for paths......Page 32 The Lie algebra......Page 34 Abelian Lie groups......Page 36 Closed subgroups......Page 38 Homogeneous spaces......Page 40 Compact subgroups......Page 41 Maximal Tori......Page 43 The Weyl group......Page 46 The flag manifold......Page 47 Conjugacy of maximal tori......Page 48 de Rham cohomology......Page 49 Composition algebras......Page 52 The product on the double of a subalgebra......Page 53 Parallelizable spheres......Page 55 Automorphisms of composition algebras......Page 56 The Octonions O......Page 57 The `39`42`"613A``45`47`"603ASU3 in `39`42`"613A``45`47`"603AAut(O)......Page 58 The maximal torus in `39`42`"613A``45`47`"603AAut(O)......Page 59 The `39`42`"613A``45`47`"603ASO4 in `39`42`"613A``45`47`"603AAut(O)......Page 60 The Lie algebra of `39`42`"613A``45`47`"603AAut(O)......Page 61 The nonsplit extension 23`39`42`"613A``45`47`"603AGL3(2) in `39`42`"613A``45`47`"603AAut(O) and seven Cartan subalgebras......Page 64