Mathematische Modellierung

Dieses Lehrbuch bietet eine lebendige und anschauliche Einführung in die mathematische Modellierung von Phänomenen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Die Leserin und der Leser lernen mathematische Modelle zu verstehen und selbst herzuleiten und finden gleichzeitig eine Fülle von wichtigen Beispielen für die im Mathematikstudium behandelten abstrakten Konzepte. Es werden Methoden aus der Linearen Algebra, der Analysis und der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen benutzt bzw. sorgfältig eingeführt. Anwendungsbeispiele aus den Bereichen elektrische Netzwerke, chemische Reaktionskinetik, Populationsdynamik, Strömungsdynamik, Elastizitätstheorie und Kristallwachstum werden ausführlich behandelt. Der Stoffumfang des Buches eignet sich für bis zu zwei vierstündige Vorlesungen für Studierende der Mathematik und der Ingenieur- oder Naturwissenschaften ab dem vierten Semester. Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 12 1 Einführung 16 1.1 Was ist Modellierung? 16 1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik 18 1.3 Populationsmodell mit beschränkten Ressourcen 24 1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung 27 1.5 Asymptotische Entwicklung 31 1.6 Anwendungen aus der Strömungsmechanik 41 1.7 Literaturhinweise 46 1.8 Aufgaben 46 2 Lineare Gleichungssysteme 51 2.1 Elektrische Netzwerke 51 2.2 Stabwerke 62 2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen 75 2.4 Literaturhinweise 82 2.5 Aufgaben 83 3 Grundzüge der Thermodynamik 91 3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung 92 3.2 Thermodynamische Systeme, das thermodynamische Gleichgewicht 96 3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik 97 3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie 101 3.5 Thermodynamische Potentiale 112 3.6 Die Legendre–Transformation 114 3.7 Der Kalkül der Differentialformen 115 3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential 118 3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen 126 3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen, das Massenwirkungsgesetz 130 3.11 Kinetische Reaktionen 135 3.12 Literaturhinweise 138 3.13 Aufgaben 139 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 146 4.1 Eindimensionale Schwingungen 146 4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik 155 4.3 Beispiele aus der Populationsdynamik 167 4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits 169 4.5 Prinzip der linearisierten Stabilität 174 4.6 Stabilität linearer Systeme 176 4.7 Variationsprobleme für Funktionen einer Variablen 181 4.8 Optimale Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen 197 4.9 Literaturhinweise 203 4.10 Aufgaben 204 5 Kontinuumsmechanik 211 5.1 Einleitung 211 5.2 Teilchenmechanik 214 5.3 Von der Teilchenmechanik zum kontinuierlichen Medium 218 5.4 Kinematik 221 5.5 Erhaltungssätze 227 5.6 Konstitutive Gesetze 237 5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik 249 5.8 Beobachterunabhängigkeit 258 5.9 Konstitutive Theorie für viskose Flüssigkeiten 264 5.10 Modellierung elastischer Feststoffe 268 5.11 Elektromagnetismus 285 5.12 Dispersion 305 5.13 Literaturhinweise 306 5.14 Aufgaben 306 6 Partielle Differentialgleichungen 321 6.1 Elliptische Gleichungen 321 6.1.1 Variationsrechnung 322 6.1.2 Die Fundamentallösung 332 6.1.3 Mittelwertsatz und Maximumprinzip 335 6.1.4 Ebene Potentialströmungen, die Methode der komplexen Variablen 337 6.1.5 Die Stokes–Gleichungen 342 6.1.6 Homogenisierung 345 6.1.7 Optimale Steuerung elliptischer Differentialgleichungen 349 6.1.8 Parameteridentifizierung und inverse Probleme 353 6.1.9 Lineare Elastizitätstheorie 357 6.2 Parabolische Gleichungen 360 6.2.1 Eindeutigkeit von Lösungen, die Energiemethode 362 6.2.2 Verhalten fur große Zeiten 364 6.2.3 Separation der Variablen und Eigenfunktionen 368 6.2.4 Das Maximumprinzip 370 6.2.5 Die Fundamentallösung 372 6.2.6 Diffusionszeiten 375 6.2.7 Invariante Transformationen 376 6.2.8 Allgemeine Anfangswerte 377 6.2.9 Brownsche Bewegung 378 6.2.10 Laufende Wellen - „Travelling Waves“ 381 6.2.11 Reaktions–Diffusions–Gleichung und Laufende Wellen 383 6.2.12 Turing–Instabilität und Musterbildung 390 6.2.13 Cahn–Hilliard–Gleichung und Musterbildung 396 6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen 400 6.4 Die Wellengleichung 409 6.5 Die Navier–Stokes–Gleichungen 416 6.6 Grenzschichten 421 6.7 Literaturhinweise 436 6.8 Aufgaben 436 7 Probleme mit freiem Rand 443 7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme 444 7.2 Freie Ränder in porösen Medien 451 7.3 Das Stefan–Problem 462 7.4 Entropieungleichung für das Stefan–Problem 469 7.5 Unterkühlte Flüssigkeiten 471 7.6 Gibbs–Thomson–Effekt 472 7.7 Mullins–Sekerka–Instabilität 474 7.8 A priori Abschätzungen für das Stefan–Problem mit Gibbs–Thomson–Bedingung 477 7.9 Die Phasenfeldgleichungen 480 7.10 Freie Oberflächen in der Strömungsmechanik 489 7.11 Dünne Filme und Lubrikationsapproximation 492 7.12 Literaturhinweise 495 7.13 Aufgaben 496 A Funktionenräume 505 B Krümmung von Hyperflächen 509 Literaturverzeichnis 514 Sachverzeichnis 520 Dieses Lehrbuch bietet eine lebendige und anschauliche Einführung in die mathematische Modellierung von Phänomenen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Die Leserin und der Leser lernen mathematische Modelle zu verstehen und selbst herzuleiten und finden gleichzeitig eine Fülle von wichtigen Beispielen für die im Mathematikstudium behandelten abstrakten Konzepte. Es werden Methoden aus der Linearen Algebra, der Analysis und der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen benutzt bzw. sorgfältig eingeführt. Anwendungsbeispiele aus den Bereichen elektrische Netzwerke, chemische Reaktionskinetik, Populationsdynamik, Strömungsdynamik, Elastizitätstheorie und Kristallwachstum werden ausführlich behandelt. Der Stoffumfang des Buches eignet sich für bis zu zwei vierstündige Vorlesungen für Studierende der Mathematik und der Ingenieur- oder Naturwissenschaften ab dem vierten Semester. Die Autoren Prof. Dr. Christof Eck, Universität Stuttgart (Prof. Dr. Harald Garcke, Universität Regensburg Prof. Dr. Peter Knabner, Universität Erlangen Das Lehrbuch bietet eine lebendige und anschauliche Einführung in die mathematische Modellierung von Phänomenen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Leser lernen, mathematische Modelle zu verstehen und selbst herzuleiten und finden eine Fülle von Beispielen, u. a. aus den Bereichen chemische Reaktionskinetik, Populationsdynamik, Strömungsdynamik, Elastizitätstheorie und Kristallwachstum. Die Methoden der Linearen Algebra, der Analysis und der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen werden sorgfältig eingeführt. Front Matter....Pages I-XVI Einführung....Pages 1-35 Lineare Gleichungssysteme....Pages 37-76 Grundzüge der Thermodynamik....Pages 77-131 Gewöhnliche Differentialgleichungen....Pages 133-197 Kontinuumsmechanik....Pages 199-308 Partielle Differentialgleichungen....Pages 309-430 Probleme mit freiem Rand....Pages 431-492 Back Matter....Pages 493-515 Das Lehrbuch bietet eine lebendige und anschauliche Einfuhrung in die mathematische Modellierung von Phanomenen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Die Methoden der Linearen Algebra, der Analysis und der Theorie der gewoehnlichen und partiellen Differentialgleichungen werden sorgfaltig eingefuhrt.