Sull'infinito

Da tempo immemorabile, l’infinito ha eccitato le emozioni umane più di ogni altro interrogativo. Quasi nessun’altra idea ha stimolato la mente in modo altrettanto proficuo. Eppure, nessun altro concetto necessita maggiormente di chiarimento». Così David Hilbert introduce il discorso che qui pubblichiamo e che venne pronunciato il 4 giugno 1925 al congresso della Società Matematica della Vestfalia, in memoria di Karl Weierstraß, il padre dell’analisi moderna. Questo breve e limpido testo è quindi, per il grande matematico tedesco, l’occasione per ridefinire il concetto di infinito e fare il punto sul suo utilizzo nelle scienze moderne. L’infinito, per David Hilbert, è un’idea, ovvero qualcosa che non può essere riscontrato nella natura e che non può costituire la base del pensiero razionale. Ma, aggiunge, le idee – concetti della ragione che trascendono ogni esperienza e completano la realtà dei fatti – sono necessarie al sapere scientifico e ai processi logici. E quella di infinito è un’idea di cui l’indagine umana non può fare a meno. Discorso pronunciato il 4 giugno 1925 al congresso della Società Matematica della Vestfalia, a Münster, in onore di Karl Weierstraß. Con la sua critica ficcante, Weierstraß ha fornito un solido fondamento all’analisi matematica. Chiarendo molte nozioni – in particolare quelle di minimo, di funzione e di quoziente differenziale – egli ha eliminato le imperfezioni ancora presenti nel calcolo infinitesimale, l’ha affrancato da ogni ambiguità sull’infinitesimo e ha così eliminato completamente le difficoltà che da quel concetto derivavano. Se oggi in analisi vi sono assoluta concordia e sicurezza nell’utilizzo dei metodi deduttivi basati sui concetti di numero irrazionale e di limite, e se perfino nelle più complesse questioni della teoria delle equazioni differenziali e integrali – nonostante il ricorso alle più ingegnose e variegate combinazioni dei diversi tipi di limite – regna comunque l’unanimità in merito ai risultati ottenuti, tale fortunata circostanza si deve principalmente all’attività scientifica di Weierstraß.