Analyse mathématique. Fonctions d'une variable, 1ère et 2e parties

Couverture Page de titre AVANT-PROPOS PREMIÈRE PARTIE : INTRODUCTION À L'ANALYSE CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS 1.1. Premières notions sur les ensembles 1.2. Axiomes des nombres réels 1.3. Conséquences des axiomes d'addition 1.4. Conséquences des axiomes de multiplication 1.5. Conséquences des axiomes d'ordre 1.6. Conséquences de l'axiome de borne supérieure 1.7. Principe d'Archimède et ses conséquences 1.8. Principe d'intervalles fermés emboîtés de Cantor 1.9. Ensemble des nombres réels achevé Exercices Historique CHAPITRE 2. ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES 2.1. Opérations sur les ensembles 2.2. Equipotence d'ensembles 2.3. Ensembles dénombrables 2.4. Ensembles ayant la puissance du continu 2.5. Notion de structure mathématique. Isomorphisme de structures 2.6. Espace n-dimensionnel 2.7. Nombres complexes 2.8. Notion générale de fonction. Graphique Exercices Historique CHAPITRE 3. ESPACES MÉTRIQUES 3.1. Définitions et exemples 3.2. Ensembles ouverts 3.3. Suites convergentes et homéomorphisme 3.4. Valeurs d'adhérence et points d'accumulation 3.5. Ensembles fermés 3.6. Ensembles partout denses. Fermetures 3.7. Espaces complets 3.8. Complétion 3.9. Compacité Exercices Historique CHAPITRE 4. THÉORIE GÉNÉRALE DES LIMITES 4.1. Définition d'une limite 4.2. Théorèmes généraux sur les limites 4.3. Limites de fonctions numériques 4.4. Valeurs d'adhérence d'une fonction 4.5. Fonctions non décroissantes suivant une direction 4.6. Théorèmes fondamentaux sur des suites numériques 4.7. Limites de fonctions vectorielles Exercices Historique CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES 5.1. Fonctions continues sur un espace métrique 5.2. Fonctions numériques continues sur la droite numérique 5.3. Fonctions monotones 5.4. Logarithme 5.5. Exponentielle 5.6. Fonctions trigonométriques 5.7. Applications des fonctions trigonométriques 5.8. Fonctions vectorielles continues d'une variable vectorielle 5.9. Suites de fonctions Exercices Historique CHAPITRE 6. SÉRIES 6.1. Séries numériques. Séries à termes positifs 6.2. Séries à termes réels de signes quelconques 6.3. Opérations sur les séries 6.4. Séries de vecteurs 6.5. Séries de fonctions 6.6. Séries de puissances Exercices Historique DEUXIÈME PARTIE : CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL CHAPITRE 7. DÉRIVÉE 7.1. Définition d'une dérivée 7.2. Deuxième définition de la dérivée 7.3. Différentielle 7.4. Théorèmes des accroissements finis 7.5. Position d'une courbe par rapport à sa tangente 7.6. Règles de L'Hospital Exercices Historique CHAPITRE 8. DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR 8.1. Définitions et exemples 8.2. Formule de Taylor 8.3. Analyse du comportement d'une fonction au voisinage d'un point donné 8.4. Différentielles d'ordre supérieur 8.5. Série de Taylor 8.6. Exponentielle et fonctions trigonométriques dans le domaine complexe 8.7. Fonctions hyperboliques Exercices Historique CHAPITRE 9. INTÉGRALE DE RIEMANN 9.1. Définition de l'intégrale et théorèmes d'existence 9.2. A quoi sert l'intégrale? 9.3. Intégrale comme fonction de sa limite supérieure 9.4. Calcul des intégrales indéfinies 9.5. Calcul des intégrales définies 9.6. Applications de l'intégrale 9.7. Intégration et dérivation d'une suite de fonctions 9.8. Intégration et dérivation par rapport au paramètre 9.9. Intégrales curvilignes Exercices Historique CHAPITRE 10. FONCTIONS ANALYTIQUES 10.1. Définitions et exemples 10.2. Intégrales curvilignes de fonctions complexes 10.3. Théorème de Cauchy et ses conséquences 10.4. Résidus et points singuliers isolés 10.5. Applications du plan complexe dans lui-même. Fonctions élémentaires Exercices Historique CHAPITRE 11. INTÉGRALES IMPROPRES 11.1. Intégrales impropres de première espèce 11.2. Intégrales impropres de deuxième et de troisième espèce 11.3. Calcul d'intégrales impropres à l'aide de résidus 11.4. Intégrales impropres fonctions d'un paramètre 11.5. Fonctions gamma et bêta d'Euler Exercices Historique INDICATIONS ET RÉPONSES Bibliographie Index