Geometrie

Title page Title page Einleitung Tabelle, Liste A. Rein geometrische Theorien. B. Grundlagen der Anwendung yon Algebra und Analysis auf die Geometrie. 1. Prinzipien der Geometrie. Von F. ENRIQUES in Bologna (jetzt in Rom). (Abgeschlossen im März 1907.) 1. Einleitung. Allgemeines, betreffend die mathematischen Untersuchungen über die Prinzipien der Geometrie I. Die elementare Richtung. 2. Vorbemerkung 3. Punkt, Gerade und Ebene 4. Strecke, Winkel (der Begriff "zwischen") 5. Kongruenz und Bewegung 6. Über die Reduktion der in den vorhergehenden Nummern betrachteten fundamentalen Begriffe 7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat 8. Das Parallelenpostulat 9. Weitere Ausführungen zur Parallelentheorie 10. Flächeninhalt und Rauminhalt 11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne der Alten 12. Schluß der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden Kapitel II. Prinzipien der Theorie des Kontinuums. 13. Vorbemerkung 14. Die Linie 15. Flächen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen 16. Linien auf den Flächen III. Prinzipien der projektiven Geometrie. 17. Postulate in einem Raumstück 18. Postulate für den vollständigen projektiven Raum 19. Projektive Koordinaten 20. Bemerkungen über die grundlegenden Sätze der projektiven Geometrie 21. Über die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begründung der projektiven Geometrie IV. Projektive Metrik. 22. Einordnung der gewöhnlichen Metrik in die projektive Geometrie 23. Allgemeine Maßbestimmung von Cayley und deren nicht-Euklidische Auslegung von Klein 24. Verschiedene Bemerkungen zu den projektiven Metriken. Maßbestimmungen V. Prinzipien der allgemeinen Metrik. 25. Vorbemerkung A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernung). 26. Geometrie auf krummen Flächen 27. Eiemannsche Maßbestimmung in einer beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeit 28. Homogene Mannigfaltigkeiten 29. Projektiver Charakter der Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung 30. Untersuchungen von De Tilly uuml;ber den Ausdruck für die endliche Entfernung 31. Geometrische Systeme von Minkowski-Hilbert B. Bewegungsgruppe. 32. Postulate von H. v. Helmholtz 33. Untersuchungen von S. Lie 34. Untersuchungen von H. Poincare 35. Untersuchungen von D. Hubert VI. Zusammenhangsverhältnisse des unbegrenzten Baumes. 36. Räume, die als Ganzes bewegt werden können 37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein 38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford-Klein VII. Nicht-Archimedische Geometrie. 39. Einleitung 40. Eindimensionales Kontinuum höherer Art 41. Allgemeine Ansätze Veroneses 42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie 43. Euklidische nicht-Archimedische Geometrie 44. Nicht-Archimedische Entwicklungen über die Parallelentheorie 2. Die Begriffe "Linie" und "Fläche". Von H. v. MANGOLDT in Danzig. (Abgeschlossen im September 1906.) 1. Notwendigkeit einer genauen Erklärung 2. Geschichtliche Entwickelung 3. Die analytische Linie 4. Zweige einer analytischen Linie 5. Einsiedler 6. Darstellung durch Gleichungen 7. Erweiterung des Begriffs Linie. Linie als "Bild einer Funktion" 8. Linie als "Bahn eines Punktes". Der Jordan'sche Satz 9. Linie als "Länge ohne Breite", oder als "Grenze einer Fläche" 10. Funktionsstreifen 11. Bevorzugung der analytischen Linien 12. Der Begriff Fläche 3. Analysis situs. Von M. DEHN in Münster i. W. (jetzt in Frankfurt a. M.) und P. HEEGAARD in Kopenhagen (jetzt in Christiania). (Abgeschlossen im Januar 1907.) Einleitung. Grundlagen. 1. Definition von Punkt-, Linien- und Flächenkomplexen 2. Indikatrix 3. Interne Transformation und Homöomorphismus (Elementarverwandtschaft) 4. Elementarmannigfaltigkeiten (Kreis und Kugel) 5. Ausdehnung auf n Dimensionen 6. Komplexe mit Singularitäten 7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie 8. Das Anschauungssubstrat 9. Einteilung der Analysis situs 10. Die Methode A. Complexus. 1. Übersicht 2. Liniensy steine (Streckenkornpiexe) 3. Höhere Komplexe und die (komplektisehe) Eulersche Formel. (Bettische Zahlen, Torsionskoeffizienten) 4. Benutzung von nektischen Methoden für die Theorie höherer Komplexe B. Nexus. I. Nexus von Linien II. Nexus von Flächen 1. Einleitung 2. Normalform 3. Lösung des Hauptproblems 4. Anwendungen der Normalform a) Beweis des Neumannschea Axioms b) Möbiussche Grundform für eine M2 c) Minimalzahl von bedeckenden Elementarflächenstücken d) Normalformen für geschlossene Flächen 5. Fortsetzung. Rückkehr schnitte und Querschnitte und die eigentliche Eulersche Formel 6. Zusammensetzung von Flächen 7. Äquivalenz von Kurven und Flächen 8. Analytisch-geometrische Entwicklungen C. Connexus. I. Homotopie II. Isotopie A. Kurven 1. Eine Kurve (Verknotung) 2. Zwei und mehr Kurven (Verkettung) B. Flächen und mehr-dimensionale Mannigfaltigkeiten D. Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten. 1. Allgemeine Probleme 2. Riemannsche Flächen 4 a. Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometrie in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert. Von G. FANO in Turin. (Abgeschlossen im Mai 1907.) I. Allgemeine Bemerkungen. Fixierung des Themas: Die Entwicklung der Geometrie im 19. Jahrhundert, von Monge beginnend. 1. Charakteristische Merkmale der beiden Geometrieen 2. Weiteres über die Grundbegriffe der analytischen Geometrie 3. Gegenseitige Beziehungen der beiden Geometrieen 4. Plan der folgenden Darstellung 5. Die Stellung von Monge 6. Die Nachfolger von Monge II. Einsetzen der synthetischen Geometrie durch Poncelet, Möbius, Steiner, Chasles. 7. Poncelet's "Traite" 8. Möbius 9. Steiner 10. Weiterführung des Steiner'schen Programms 11. Chasles III. Entsprechende Entwicklung der analytischen Geometrie. 12. Möbius, Plücker IV. Von Staudt. Insbesondere Gebilde 2. Grades und Imaginärtheorie mit Erweiterungen 13. von Staudt 14. von Staudt's Imaginärtheorie 15. Weitere Ausbildung der Imaginärtheorie 16. Spätere Erweiterungen. Hyperalgebraische Gebilde und bikomplexe Elemente 17. Entsprechende analytische Entwicklungen. Bikomplexe Zahlen 18. Direkte Untersuchung der hyperalgebraischen Gebilde. Beziehung zu den Herrnite'schen Formen V. Allgemeine Theorie der algebraischen Gebilde von zwei und drei Dimensionen. 19. Analytische Theorie der albgebraischen ebenen Kurven 20. Oberflächen im Räume 21. Raumkurven 22. Zusammenhang mit der linearen Invariantentheorie 23. Graßmann's lineale Erzeugung der Kurven und Flächen 24. Algebraisch-geometrische Theorieen. Cremona 25. Ansatz von H. Thieme 26. Aufstellung der rein synthetischen Kurventheorie durch E. Kötter 27. Untersuchungen von R. De Paolis VI. Mehrdimensionale Algebraische Geometrie. 28. Ansätze zur analytischen Auffassung mehrdimensionaler Räume 29. Mehrdimensionale Räume veranlaßt durch Betrachtung beliebiger Raumelemente 30. Weitere Ausbildung der projektiven Auffassung VII. Geometrie anf einem algebraischen Gebilde. 31. Heranziehen transzendenter Funktionen. Die Stellung von Clebsch 32. Geometrie auf einer algebraischen Kurve oder Fläche VIII. Abzählende Geometrie. 33. Zweck und allgemeine Prinzipien IX. Differentialgeometrie. 34. Exkurs über Funktionentheorie 36. Gegensatz zwischen Geometrie eines begrenzten Raumstückes und Geometrie des Gesamtraumes 36. Monge's "Application". Dupin 37. Gauß' "Disquisitiones" 38. Fortschreiten der infinitesimalen Kurven- und Flächentheorie 39. Allgemeiner Überblick über die Untersuchungen von S. Lie X. Weitere Verallgemeinerungen des analytischen Ansatzes. 40. Der allgemeine Kurvenbegriff in analytischer Fassung 4 b. Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip. Von G. FANO in Turin. (Abgeschlossen im Juli 1907.) I. Transformationen. Transformationsgruppen und zugehörige Geometrien. 1. Transformationen 2. Transformationsgruppen und deren Einteilung 3. Kleins gruppentheoretische Auffassung der Geometrie. Die einer Gruppe zugehörige Invariantentheorie 4. Hauptgruppe. Elementargeometrie 5. Allgemeine projektive Gruppe. Projektive Geometrie 6. Kontinuierliche Untergruppen der allgemeinen projektiven Gruppe 7. Fortsetzung. Affine Gruppe. Affine Geometrie 8. Fortsetzung. Projektive Gruppen mit invarianten Kurven und Flächen 9. Fortsetzung. Projektive Gruppe mit invarianter M2n-1. Die Nicht-Euklidischen Geometrien 10. Beispiele projektiver Geometrien mit invarianter M2n-1. Projektive Liniengeometrie 11. Fortsetzung. Gruppe der reziproken Radien. Niedere Kugelgeometrie 12. Kontinuierliche Untergruppen der Gruppe der reziproken Eadien 13. Die Liesche Kugelgeometrie 14. Laguerres "Geometrie de direetion" 15. Berührungstransformationen. Endliche kontinuierliche Gruppen von Berührungstransformationen 16. Studys Geometrie der Elemente 2. Ordnung in der Ebene 17. Studys Gruppen der dualen und der radialen Projektivitäten 18. Die radial-projektive Geometrie 19. Fortsetzung. Projektive Abbildung der radial-projektiven Geometrie 20. Studys projektive und pseudokonforme Geometrie der Somen 21. Gruppe der Cremonaschen Transformationen 22. Endliche kontinuierliche Gruppen von Cremonaschen Transformationen und deren projektive Abbildung 23. Aufzählung einiger unendlicher Gruppen 25. Andere geometrische Gruppen. Die Analysis situs 26. Die verschiedenen Geometrien auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit II. (Gegenseitige Beziehung verschiedener Geometrien in gruppentheoretischer Hinsicht. 27. Geometrien mit ähnlichen Gruppen. Projektive Geometrie im binären Gebiete 28. Fortsetzung. Projektive Deutung der binären Formen auf der rationalen Normalkurve nter Ordnung 29. Ausdehnung auf beliebige lineare Systeme algebraischer Formen 30. Weitere Beispiele von Geometrien mit ähnlichen Gruppen 31. Geometrien, von deren Fundamentalgruppen die eine in der anderen als Untergruppe enthalten ist. Einordnung der Euklidischen und Nicht-Euklidischen Geometrie in die projektive 32. Fortsetzung. Einordnung der projektiven Geometrie in Geometrien mit umfassenderen Gruppen III. Besondere Ausführungen über die Invarianten der Gruppen. 33. Allgemeines. Differentialinvarianten 34. Invariantentheorie der linearen Gruppe 36. Deutung der linearen Invariantentheorie durch die projektive Geometrie 36. Deutung der linearen Invariantentheorie durch die affine Geometrie 37. Ansatz für die analytische Behandlung einer jeden Geometrie durch ausschließliche Berücksichtigung der zugehörigen Invarianten 38. Spezielle Ausführungen für die metrische Geometrie 39. Spezielle Ausführungen betreffend projektive Geometrie 40. Spezielles über geometrische Anwendungen der Theorie der Elementarteiler 41. Ausführungen betreffend die projektive Geometrie einer quadratischen Mannigfaltigkeit von nicht verschwindender Determinante 42. Geometrie der reziproken Radien. Apollonisches Problem 5. Projektive Geometrie. Von A. SCHOENFLIES in Königsberg (jetzt in Frankfurt a. M.). (Abgeschlossen im Januar 1909.) A. Historische Einleitung. 1. Die Zentralprojektion 2. Carnots Theorie der Transversalen 3. Das Prinzip der Kontinuität B. Allgemeine Begriffe und Methoden. 4. Die Begründung der projektiven Denkweise durch Poncelet 5. Polarität, Reziprozität und Dualität 6. Der allgemeine Verwandtschaftsbegriff 7. Das Doppelverhältnis 8. Die Grundgebilde und ihre projektive Beziehung 9. Metrische Eigenschaften der projektiven Beziehung 10. Die Erzeugungsmethoden 11. Vereinigte Lagen projektiver Systeme C. Besondere Probleme 12. Besondere Lagen 13. Involutorische Lagen 14. Zyklische Projektivitäten 15. Ausgeartete Projektivitäten und Korrelationen 16. Das Problem der Projektivität D. Grundlegende Fragen. 17. Die Abtrennung der Metrik durch K. G. G. v. Staudt und der Fundamentalsatz 18. Die grundlegende Bedeutung der Schnittpunktssätze 19. Imaginäre Elemente 20. Die Antiprojektivität oder Symmetralität 21. Das Rechnen mit Würfen 22. Methodische Gesichtspunkte E. Die Projektiyitäten als Operationseffekte. 23. Das Rechnen mit Verwandtschaften 24. Büschel, Netze usw. von Verwandtschaften F. Anhang. 26. Die trilineare einstufige Beziehung 26. Die einfachsten quadratischen Verwandtschaften 5 a. Konfigurationen der projektiven Geometrie. Von ERNST STEINITZ in Berlin (jetzt in Kiel). (Abgeschlossen im April 1910.) 1. Definitionen 2. Historisches. Reyes Problem der Konfigurationen. Untersuchungsmethoden 3. Schematische Bildungsweise der ebenen Konfigurationen nS 4. Geometrische Eigenschaften der Konfigurationen nS 5. Ebene Konfigurationen auf Kurven dritter Ordnung 6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen 7. Kombinatorische Konfigurationen 8. Die Reyesche Konfiguration und einige verwandte Konfigurationen 9. Die Gruppe der Reyeschen Konfiguration. Beziehungen zur elliptischen Geometrie und zum 24-Zell des R4 10. Die Konfiguration von Hess 11. Die Kummersche Konfiguration 12. Die Kleinsche Konfiguration und Gruppe 13. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: binäres Gebiet 14. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: ternäres Gebiet 15. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: quaternäres Gebiet 6. Darstellende Geometrie. Von E. PAPPERITZ in Freiberg (Sa.). (Abgeschlossen im Juli 1909.) I. Ziele, Grundlagen und Methoden. 1. Geometrische Zeichen- und Bildersprache. Bestimmung der Lage, Gestalt und Größe der Gebilde 2. Korrespondenz zwischen Begriff und Zeichen. Original und Bild 3. Die darstellende Geometrie als angewandte und als deduktive mathematische Wissenschaft 4. Die graphischen Charaktere 5. Die Entstehung und die Darstellung geometrischer Gebilde 6. Das Konstruieren 7. Postulate der Konstruktion 8. Die Werkzeuge des Geometers 9. Die Einfachheit graphischer Konstruktionen. Operationssysteme. Geoetrographie 10. Die Genauigkeit graphischer Konstruktionen Fehlertheorie 11. Projizieren und Durchdringen. Sehprozeß und Schattenbildung. 12. Einteilung der Darstellungsmethoden 13. Hilfsverfahren und Transformationen 14. Nomenklatur. Bezeichnungsweise. Zeichnerische Regeln II. Geometrisches Darstellungsrerfahren vor Monge. 15. Darstellungsverfahren im Altertum. Die Rißkunst des Mittelalters 16. Die malerische Perspektive von der Renaissance bis zum Ende des 16. Jahrhunderts 17. Dürers "Unterweisung" 18. Die axonometrische Perspektive bei Desargues und seinen Zeitgenossen 19. Die freie Perspektive bei Stevin, Gravesande, Taylor und Lambert 20. Die Weiterentwicklung der Rißkunst an den Aufgaben des Steinschnittes durch Frezier III. Begründung eines wissenschaftlichen Systems. 21. Monges "Géometrié descriptive" 22. Die Prinzipien der darstellenden Geometrie 23. Die Erzeugung krummer Flächen. Theorie der Raumkurven 24. Der Aufgabenbereich 25. Lacroix, Monges Rivale 26. Monges Schule 27. Die Nachwirkung der Ideen Monges IV. Neuere Entwicklung der Darstellungsmethoden. 28. Die Geometrie der Lage 29. Die Kollinearverwandtschaften 30. Die organische Verbindung der darstellenden Geometrie mit der Geometrie der Lage 31. Die orthogonale axonometrische Projektion 32. Die freie und axonometrisohe schiefe Projektion 33. Die freie und angewandte Perspektive 34. Die plastische Perspektive 36. Die Schatten- und Beleuchtungstheorie V. Besondere deskriptive Aufgaben und Methoden. 36. Polyeder 37. Kurven und Flächen 2. Ordnung. Durchdringungen 38. Geometrie der Bewegung. Rollkurven. Verzahnungstheorie 39. Rotationsflächen 40. Schraubengebilde 41. Abwickelbare und windschiefe Regelflächen, Bahn- und Hüllflächen 42. Krümmung der Kurven und Flächen 43. Kotierte Projektion und Topographie. Stereographische und Kartenprojektion 44. Photogrammetrie 46. Abbildungen im weiteren Sinne 7. Die verschiedenen Koordinatensysteme. Von E. MÜLLER in Wien. (Abgeschlossen im Juli 1910) Einleitung. 1. Allgemeiner Begriff und Zweck der Koordinaten. Einteilungsprinzipe I. Punktkoordinaten. 2. Parallelkoordinaten (Cartesische Koordinaten) in der Ebene 3. Parallelkoordinaten im Baum. Begriff des w-dimensionalen Raumes 4. Allgemeine Punktkoordinaten (krummlinige Koordinaten) 5. Lineare Punktkoordinaten im allgemeinen 6. Besondere Arten linearer Punktkoordinaten 7. Minimalkoordinaten 8. Nichtlineare projektive Punktkoordinaten 9. Polarkoordinaten a) In der Ebene b) Im Raum 10. Polysphärische Koordinaten und ihre Analoga in der Ebene, in der Geraden und im Rnn 11. Koordinaten in bezug auf eine Normkurve 12. Allgemeine elliptische Koordinaten 13. Spezielle elliptische Koordinaten 14. Parabolische Koordinaten 15. Projektive Verallgemeinerung der elliptischen Koordinaten. Anwendungen 16. Zyklidische Koordinaten 17. Sonstige Punktkoordinaten II. Koordinaten von algebraischen Flächen, Linien in der Ebene und Punktgruppen in der Geraden (allgemein: Mmn-1 im Rn). 18. Allgemeines 19. Plückersche Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene 20. Allgemeine Ebenenkoordinaten 21. Lineare Ebenenkoordinaten im allgemeinen 22. Besondere Arten linearer Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene 23. Sonstige Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene 24. Pentasphärische Kugelkoordinaten und ihre Analoga 25. Hexaspharische Kugelkoordinaten und ihre Analoga; Komplexkoordinaten 26. Koordinaten von algebraischen Flächen, Kurven in der Ebene und Punktgruppen in der Geraden III. Koordinaten yon Linien im Baum (allgemein: von Mmr im Rn, r < n Â? 1). 27. Plückersche Linienkoordinaten 28. Gewindekoordinaten, Kleinsche Linienkoordinaten 29. Sonstige Linienkoordinaten 30. RS- Koordinaten im Rn. Koordinaten von Kreisen und Punktepaaren im R3 IV. Koordinaten von Gebilden auf einer Kurve oder Fläche (in einer nichtlinearen Mannigfaltigkeit). 31. Allgemeines 32. Koordinaten auf der Kugelfläche (Sphärische Koordinaten) 33. Koordinaten auf einer Fläche zweiter Ordnung 34. Natürliche Koordinaten 35. Koordinaten sonstiger Elemente V. Koordinatentransformation. 36. Allgemeines 37. Lineare, insbesondere orthogonale Transformationen