Geometrie

Title page Tabelle, Liste C. Algebraische Geometrie. (Fortsetzung.) 10. Spezielle algebraische Flächen. a) Flächen dritter Ordnung. Von W. FR. MEYER + (Abgeschlossen im September 1928.) I. Historische Entwicklung der Haupteigenschaften der Fläche. 1. Erstes Auftreten der allgemeinen F3 bei Plücker und Magnus 2. Erste Grundlegung der Theorie. Die Bestimmung der 27 Geraden und 45 Ebenen nach Salmon und Cayley 3. Sylvesters Pentaeder und Steiners Kernfläche 4. Singularitäten. Klasse der Fläche. Einteilung in Arten nach Schläfli und Cayley 5. Fortsetzung. Einfluß der Singularitäten auf die 27 Geraden und 45 Ebenen 6. Realitätsverhältnisse bei den 27 Geraden und 45 Ebenen. Die fünf Schläflischen Typen singularitätenfreier Flächen 7. Graßmanns Erzeugungen der Fläche 8. Steiners Erzeugungen der Fläche. Konjugierte Trieder 9. Erzeugungen der Fläche nach August, Sturm und Schroeter. Konjugierte Tetraeder. Weitere Erzeugungen 10. Schläflis Diskussion der 27 Geraden und 45 Ebenen. Sechsen und Doppelsechsen. Fünfen 11. Clebschs Abbildung der Fläche auf eine Ebene. Geometrie auf der Fläche. Schiefe Projektion. Sekantenprojektion und Sekantenabbildung 12. Formentheoretische Behandlung der Fläche 13. Eeziprokalflächen. Die Steinersche Fläche 8 als Reziproke einer F3 mit vier Knoten und ihre Abbildung auf die Ebene 14. Regelflächen 3. Ordnung und ihre Abbildung. Die Cayleysche Fläche II. Systematischer Ausbau der Theorie. 15. Cremonas und Sturms Preisarbeiten. Kurven auf der Fläche 16. Geisers Projektion der Fläche von einem ihrer Punkte aus. Segres Projektion vom S4 aus 17. Gestaltliche Verhältnisse der Fläche. Modelle. F. Kleins Auflösung von Knotenpunkten. Juels topologische Flächen 3. Ordnung 18. Zusammenhang zwischen den 27 Geraden und dem Pentaeder nach Cremona und Beltrami 19. Fortsetzung. Binäre Beziehungen der Fläche auf kubische Raumkurven nach W. Fr. Meyer. Ergänzungen von Waelsch 20. Das Gebüsch der ersten Polaren der Fläche 21. Lineare Konstruktionen der Fläche. Allgemeinere Gesichtspunkte bei v. Escherich 22. Gruppentheoretische Behandlung der Fläche, besonders ihrer 27 Geraden, nach Klein und Burkhardt, sowie von Coble 23. Spezielles 24. Das Zylindroid 10. Spezielle algebraische Flächen. b) Flächen vierter und höherer Ordnung. Von W. FR. MEYER + (Abgeschlossen im August 1930.) I. Einleitung und Übersicht. Reziproke Erzeugung der F4, JP5, ... durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F4. Kanonisierun 1. Einleitung und Übersicht 2. Reziproke Erzeugung der F4, F5, ... durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich 3. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F4 4. Die Kanonisierung der F4 und Reyes Dekaeder. Sonderfälle 5. Formen theoretisches. Übertragungsprinzipien II. Kummers Untersuchung der F4 mit Scharen von Kegelschnitten. 6. Einleitung. Hilfssätze 7. Erster Hauptfall (I): Die Ebenen H sind vom Typus T0. Die F4 mit einer Doppelgeraden .... Die Dupinsche Zyklide. Die F4 mit zwei Selbstberührungspunkten 8. Zweiter Hauptfall (II): Die H sind vom Typus T1. Die Steinersche Fläche S 9. Dritter Hauptfall (III): Die H sind vom Typus T2. Die F4 mit Doppelkegelschnitt C2. Die fünf Kummerschen Kegel III. Die F4 mit Doppelkegelschnitt. 10. Die Abbildung der F4 auf eine Ebene nach Clebsch. Die 16 Geraden auf der F4 11. Die Vieren und Doppelvieren 12. Die Kegelschnitte auf der F4 13. Die Kurven 3. Ordnung Cs auf der F4 14. Die rationalen Kurven 4. Ordnung R4 auf der F4 und ihre Beziehung zu den Vieren zweiter Art 15. Fall eines Knotenpunktes D2 auf der F4 16. Die zur Bestimmung der 16 Geraden g dienende Gleichung 5. Ordnung 17. Erzeugung der F4 durch zwei projektive F2-Büschel. Die synthetischen Untersuchungen von Juel und Bobek 18. Die vier Kuspidalpunkte der F4. F4 mit Kuspidalkegelschnitt 19. Die Zeuthensche Tangentenprojektion der F4 von einem Punkte des Doppelkegelschnitts aus. Die Projektion der F4 von der Spitze eines Kummerschen Kegels aus. Erzeugung der F4 20. Die Segresche Projektion vom S4 aus. Die Veronesesche Konstruktion IV. Die Zykliden. 21. Die Zykliden als F4 mit dem Kugelkreis als Doppelkegelschnitt 22. Die Untersuchung von Casey 23. Einführung der pentasphärischen Koordinaten nach Darboux 24. Konfokale Zykliden 25. Zykliden und Fokalflächen 26. Transzendente Darstellung der Zykliden nach Domsch 27. Die Dupinsche Zyklide 28. Fokalkurven und Abstandsrelationen 29. Die Krümmungslinien auf den Zykliden Z V. F4 mit einer Doppelgeraden g. 30. Einleitung 31. Vorstufen zu einer F4 mit g 32. Die 16 Geraden auf der Fläche 33. Abbildung der Fläche auf eine Ebene 34. Die Kegelschnitte auf der Fläche 35. Die vier Kuspidalpunkte der F4 mit .... Die F4 mit einer Kuspidalgeraden 36. Spezielle F4 mit einer Doppelgeraden VI. F4 mit dreifachem Punkt und solche mit einer dreifachen Geraden. 37. F4 mit dreifachem Punkt und ihre Abbildung auf die Ebene 38. Erzeugung der Fläche durch zwei projektive F2-Büschel 39. Die Untersuchung von Rohn_ 40. F4 mit dreifacher Geraden ... und ihre Abbildung 41. Die F4 mit ... als Achsenfläche einer kubischen Raumkurve VII. Die Steinersche Fläche. 42. Einleitung 43. Abbildung der Fläche auf eine Ebene 44. Normaldarstellungen der Fläche 45. Weiteres zur Abbildung der Fläche 46. Die Haupttangentenkurven der Fläche 47. Der Satz von Lie 48. Die Sätze von Darboux, Picard und Castelnuovo 49. Verallgemeinerungen der Weierstraßschen Darstellung der Fläche 50. Metrische Beziehungen 51. Die Krümmungslinien auf der Fläche S VIII. Rationale Flächen vierter und höherer Ordnung. 52. Einleitung 53. Die Typen rationaler F4 IX. Flächen vierter und höherer Ordnung mit endlichvielen Geraden. 54. Flächen vierter und höherer Ordnung ohne Singul aritäten mit einer endlichen Anzahl von Geraden 55. Flächen vierter und höherer Ordnung mit Singularitäten und einer endlichen Anzahl von Geraden X. Flächen 4. Ordnung mit weniger als 16 Doppelpunkten. 56. Einleitung 57. Die Untersuchungen von Cayley 58. F4 mit zwei Selbstberührungspunkten. F4 mit vier uniplanaren Doppelpunkten 59. F4 mit vier beliebigen Doppelpunkten 60. Die Weddlesche Fläche 4. Ordnung 61. F4 mit acht assoziierten Doppelpunkten 62. Das Cayleysche Symmetroid. Die desmische Fläche 4. Ordnung 63. Die Untersuchung von Rohn über F4 mit 9 bis 15 Doppelpunkten XI. Die Weddlesche und die Kummersche Fläche. Das Tetraedroid und die Wellenfläche. 64. Das allgemeine F2-Gebüsch. Die Kegelspitzenfläche und ihre Bildfläche 65. Das F2-Gebüsch mit sechs Grundpunkten 66. Die Weddlesche Fläche und die Kummersche Fläche als ihre Bildfläche. Invariante Darstellung beider Flächen 67. Die Kummersche Fläche als Projektion vom S4 aus 68. Die 16 D2 und 16 ..., syzygetische und azygetisehe Tetraeder der Kummerschen Fläche. Normaldarstellungen. Die lineare Konstruktion von H. Weber. Die Kummersche Konfiguration 69. Liniengeometrische Behandlung der Kummerschen Fläche. Die Kummer-sche Fläche als Singularitätenfläche eines quadratischen Komplexes und als Brennfläche einer quadratischen Kongruenz 70. Die Haupttangentenkurven der Kummerschen Fläche 71. Transzendente Behandlung der Kummerschen Fläche 72. Konfigurationen, die der Kummerschen Fläche zugleich ein- und umbeschrieben sind 73. Das Cayleysche Tetraedroid und die Wellenfläche 74. Die Haupttangentenkurven und die Krümmungslinien auf der Wellenfläche XII. Regelflächen vierter und höherer Ordnung. 75. Einleitung über Regelflächen 4. Ordnung R-F4 76. Die abwickelbare R-F4 77. Die R-F4 mit dreifacher Geraden .... Unterarten 78. R-F4 mit irreduzibler kubischer Doppelkurve 79. Die Mohrmannsche Untersuchung der R-F4 mit irreduzibler kubischer Doppelkurve 80. Die R-F4 mit reduzibler kubischer Doppelkurve 81. Die R-F4 vom Geschlecht i mit zwei windschiefen Doppelgeraden 82. Die Polaren-Methode von Wong 83. Die Regelflächen 5. Ordnung 84. Die Regelflächen sechster und höherer Ordnung XIII. Metrisch bemerkenswerte Flächen vierter und höherer Ordnung. 85. Aus Flächen 2. Ordnung abgeleitete Flächen vierter und höherer Ordnung 86. Andere bemerkenswerte metrische Flächen vierter und höherer Ordnung 87. Algebraische Minimalflächen 11. Algebraische Transformationen und Korrespondenzen. Von L. BERZOLARI in Pavia. (Abgeschlossen im Dezember 1932.) I. Einleitende Definitionen und Eigenschaften. 1. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Mannigfaltigkeiten 2. Beziehungen zwischen invarianten Charakteren zweier algebraischer Kurven oder Flächen in algebraischer Korrespondenz II. Algebraische Korrespondenzen und Korrespondenzprinzipien in linearen und nichtlinearen Gebieten. 3. Algebraische Korrespondenzen zwischen den Elementen zweier Grundggebilde erster Stufe (oder zwischen den Punkten zweier rationaler Kurven) 4. Fortsetzung: Algebraische (2, 2)-Korrespondenzen zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe 5. Algebraische, insbesondere plurilineare Korrespondenzen zwischen mehreren Grundgebilden erster oder höherer Stufe 6. Korrespondenzprinzip auf der Geraden (oder auf rationalen Kurven) 7. Korrespondenzprinzipien in der Ebene und in linearen Räumen dreier oder mehrerer Dimensionen 8. Korrespondenzprinzipien in nichtlinearen Mannigfaltigkeiten III. Algebraische Korrespondenzen und Korrespondenzprinzipien für algebraische Kurven beliebigen Geschlechts. 9. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Kurven 10. Das Korrespondenzprinzip von Cayley-Brill 11. Systeme mehrerer Korrespondenzen zwischen den Punkten einer Kurve und Anwendungen auf Fragen abzählender Art über lineare Scharen 12. Die allgemeine Korrespondenztheorie von A. Hurwitz 13. Geometrische Behandlung der allgemeinen Korrespondenztheorie nach F. Severi 14. Fortsetzung: Die algebraischen Korrespondenzen zwischen den Punkten einer in einem linearen System veränderlichen Kurve auf einer algebraischen Fläche 15. Wertigkeit einer Korrespondenz nach H. Burkhardt und H. G. Zeuthen 16. Die algebraischen Korrespondenzen zwischen algebraischen Kurven unter dem Gesichtspunkt der Analysis situs 17. Multiplizität eines Koinzideuzpunktes in der Gruppe der Koinzidenzpunkte einer algebraischen Korrespondenz auf einer algebraischen Kurve; Regel von H. G. Zeuthen 18. Grad und Geschlecht einer algebraischen Korrespondenz zwischen zwei algebraischen Kurven 19. Symmetrische und halbsymmetrische Korrespondenzen zwischen den Punkten einer algebraischen Kurve 20. Geometrische Darstellungen und Erweiterungen. Untersuchungen von C. Rosati und G. Scorza; vorläufige Bemerkungen 21. Geometrische Deutung der Beziehungen von A. Hurwitz.Reduzible Abelsche Integrale 1. Gattung und "speziale" Korrespondenzen 22. Fortsetzung: Netze von spezialen Korrespondenzen, die einem regulären System reduzibler Integrale 1. Gattung beigeordnet sind Immersionskoeffizient eines solchen regulären Systems 23. Minimalgleichung einer Korrespondenz 24. Ausdehnung des Wertigkeitsbegriffs einer Korrespondenz; einfache und mehrfache Wertigkeiten einer Korrespondenz 25. Hermitesche Korrespondenzen. Verbindung der Korrespondenztheorie mit dem Begriff der Ordnung von Zahlkörpern (nach R. Dedekind) 26. Fortsetzung: Vertauschbare Korrespondenzen 27. Pseudoachsen einer Riemannschen Matrix. Multiplikabilitätsgruppe der Matrix und ihre Struktur 28. Algebraische Korrespondenzen zwischen den Punkten einer Kurve vom Geschlecht p = 2 29. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei voneinander verschiedenen algebraischen Kurven 30. (2, 2)-Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Kurven; Gruppen solcher Korrespondenzen auf einer algebraischen Kurve 31. Involutionen beliebiger Ordnung und Dimension auf einer algebraischen Kurve 32. Verallgemeinerung: Algebraische Scharen von Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve 33. Algebraische Kurven, die irrationale Involutionen 2. Ordnung enthalten 34. Formel von H. Schubert für algebraische ...-Scharen. Arithmetisches Äquivalenzkriterium von G. Castelnuovo. Verallgemeinerungen und Anwendungen. Arithmetisches Kriterium von F. Severi für die Wertigkeitsko 35. Die Jacobische Mannigfaltigkeit Vp einer Kurve vom Geschlecht p > 0 und die eineindeutigen Korrespondenzen zwischen Gruppen von p Punkten der Kurve 36. Die Jacobische Mannigfaltigkeit Vp in Verbindung mit den algebraischen ...- Scharen von Punktgruppen auf der Kurve und mit der Theorie der algebraischen Korrespondenzen zwischen den Punkten dieser Kurve 37. Fortsetzung: Arithmetische Invarianten einer algebraischen ...-Schar von Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve 38. Transzendente Bedingungen für die birationale Identität zweier algebraischer Kurven. Birationale Korrespondenzen der Jacobischen Mannigfaltigkeit Vp in sich 39. Die Kurven, auf denen die aus der Gesamtheit der algebraischen Korre-spondenzen bestehende Gruppe besonderen Permutabilitätsbedingungen genügt 40. (p, p)-Korrespondenzen auf einer Kurve vom Geschlecht p mit allgemeinen Moduln 41. Automorphe birationale Transformationen einer irreduziblen Kurve 42. Der hyperelliptische Fall 43. Der elliptische Fall 44. Erweiterung des Satzes von H. A. Schwarz (Nr. 41) nach G. Castelnuovo 45. Arithmetische Irrationalitäten, von denen die Transformationen algebraischer Kurven abhängen. Die Arithmetik auf den algebraischen Kurven IV. Birationale (oder Cremona-) Transformationen zwischen zwei linearen Bäumen von zwei oder mehreren Dimensionen. 46. Einleitung 47. Birationale Transformationen zwischen zwei Ebenen 48. Hauptpunkte und -kurven 49. Grundlegende Beziehungen zwischen den Zahlen, die sich auf ein homaloides Netz beziehen 50. Eigenschaften der Hauptpunkte und -kurven 51. Bestimmung der ebenen Cremonaschen Transformationen gegebener Ordnung 52. Fortsetzung: Untersuchungen von D. Montesano 53. Bestimmung der konjugierten Lösung zu einer gegebenen Lösung der Gleichungen von L. Cremona 54. Entsprechende Kurven in einer birationalen ebenen Korrespondenz 55. Lineare Transformation mit ganzen Koeffizienten in Zuordnung zu einer ebenen Cremonaschen Transformation 56. Cremonasche Äquivalenz zweier algebraischer ebener Kurven 57. Zerlegung einer ebenen birationalen Transformation in Faktoren 58. Birationale Transformationen zwischen zwei vereinigt liegenden Ebenen 59. Ebene birationale Reziprozitäten; Nullreziprozitäten 60. Periodische, insbesondere involutorische birationale ebene Transformationen 61. Reduktion der involutorischen birationalen ebenen Transformationen auf Typen mittels birationaler Transformationen 62. Analoge Reduktion auf Typen für die involutorischen antibirationalen ebenen Transformationen 63. Typen endlicher diskontinuierlicher Gruppen von ebenen birationalen Transformationen. Beispiele unendlicher diskontinuierlicher Gruppen 64. Typen endlicher kontinuierlicher Gruppen von ebenen birationalen Transformationen 65. Gruppen ebener birationaler Berührungstransformationen 66. Ebene quadratische Transformationen; geschichtliche Bemerkungen 67. Eigenschaften und Konstruktionen der ebenen quadratischen Transformationen 68. Ebene quadratische singuläre Transformationen 69. Ebene quadratische involutorische Transformationen 70. Inversion oder Abbildung durch reziproke Radien 71. Kreisverwandtschaft 72. Andere besondere Transformationen und Gruppen Cremonascher Transformationen zwischen zwei Ebenen 73. Birationale Transformationen zwischen zwei Räumen von drei Dimensionen 74. Hauptelemente 75. Fortsetzung: Grundlegende Formeln 76. Bestimmung der birationalen Transformationen zwischen zwei Räumen 77. Transformationen 2. Ordnung 78. Quadratische involutorische Transformationen 79. Inversion oder Abbildung durch reziproke Radien 80. Transformationen 3. Ordnung 81. Fortsetzung: Birationale Transformationen der Ordnungen (3, 3) und ihre besonderen Fälle 82. Nichtinvolutorische oder involutorische monoidale Transformationen 83. Nichtinvolutorische oder involutorische birationale Transformationen, die durch irgendwelche Eigenschaften des Systems der Verbindungsgeraden der homologen Punkte gekennzeichnet sind 84. Andere besondere birationale involutorische oder nichtinvolutorische Transformationen 85. Birationale Raumreziprozitäten; Nullreziprozitäten 86. Produkte von birationalen Raumtransformationen. Endliche und unendliche diskontinuierliche Gruppen solcher Transformationen 87. Typen endlicher kontinuierlicher Gruppen von birationalen Raumtransformationen 88. Birationale Transformationen zwischen zwei linearen r-dimensionalen Räumen 89. Quadratische Transformationen 90. Andere besondere birationale Transformationen und Gruppen solcher Transformationen 91. Fortsetzung: Reguläre Gruppen Cremonascher Transformationen. Untersuchungen von A. B. Coble V. Mehrdeutige Korrespondenzen zwischen zwei linearen Bäumen von zwei oder mehreren Dimensionen. 92. Rationale Transformationen zwischen zwei Ebenen 93. Sonderfälle 94. Algebraische Korrespondenzen mit willkürlichen Indizes zwischen zwei Ebenen 95. Sonderfälle 96. Rationale Transformationen zwischen zwei dreidimensionalen Räumen 97. Sonderfälle 98. Algebraische Korrespondenzen mit willkürlichen Indizes zwischen zwei Räumen 99. Höhere Nullverwandtschaften 100. Mehrdeutige Korrespondenzen zwischen zwei linearen Oberräumen 101. Ebene und räumliche, ein- und mehrdeutige Transformationen, die mit Fragen der Kinematik verknüpft sind 102. Allgemeine Involutionen in den linearen Räumen zweier oder mehrerer Dimensionen; Rationalitätsfragen VI. Anwendungen 103. Gebilde, die aus algebraischen Korrespondenzen zwischen gegebenen Grundgebilden hervorgehen 104. Gebilde, die aus algebraischen Korrespondenzen zwischen gegebenen nichtlinearen Gebilden hervorgehen 106. Reduktion der Singularitäten der ebenen und nichtebenen algebraischen Kurven 106. Reduktion der Singularitäten der algebraischen Flächen 107. Reduktion linearer Systeme algebraischer Kurven und Flächen auf Typen mittels Cremonascher Transformationen 108. Andere einzelne Anwendungen VII. Ebene Abbildung von rationalen Flächen. 109. Allgemeines 110. Irrationalitäten, von denen die ebene Abbildung einer rationalen Fläche abhängig gemacht werden kann 111. Vorläufige Eigenschaften der ebenen Abbildung einer rationalen Fläche 112. Hauptpunkte und -kurven der ebenen Abbildung 113. Fortsetzung: Kurven, die sich auf der Ebene und der Fläche entsprechen 114. Besondere Fälle 115. Ebene Abbildung einer rationalen Fläche des dreidimensionalen Raumes 116. Fortsetzung: Fragen abzählender Art, die mit der ebenen Abbildung einer rationalen Fläche verknüpft sind 117. Reelle Mäntel der reellen rationalen Flächen und deren Zusammenhangseigenschaften in bezug auf die ebene Abbildung der Fläche. Untersuchungen von A. Comessatti 118. Abbildung auf mehrfache Ebenen; Rationalitätsfragen VIII. Andere besondere Abbildungen und algebraische Korrespondenzen. 119. Verschiedene rationale Mannigfaltigkeiten dreier Dimensionen 120. Andere besondere Abbildungen und rationale Mannigfaltigkeiten 121. Konnexe Berichtigungen Register zu Band III, 2. Teil Berichtigungen Namenverzeichnis zu Band III, 1. u. 2. Teil