Géométrie projective

Issue des réflexions des peintres de la Renaissance sur la perspective, la géométrie projective s’est avérée, au début du XIXe siècle, être un outil unificateur de résultats géométriques disparates et un puissant moyen pour aller plus loin. À partir du milieu du XIXe siècle, la géométrie projective a été le fondement sur lequel s’est développée la géométrie algébrique. Dans le grand développement de celle-ci, jusqu’à l’époque contemporaine, les notions projectives y ont gardé une place de choix, notamment par le biais des systèmes linéaires. Partant d’un prérequis assez élémentaire d’algèbre, ce livre expose les fondements — tant algébriques qu’axiomatiques — de la géométrie algébrique et donne une grande place à leurs applications aux cercles, coniques et quadriques. À la portée des étudiants du premier cycle et des élèves des classes préparatoires, il est destiné à tous les amateurs de géométrie.Pierre Samuel, spécialiste d’algèbre et de géométrie algébrique, est professeur à l’Université de Paris-Sud (Orsay).===== Table des matièresIntroductionChapitre Premier / Espaces projectifs § A / Définition, repères projectifs Coordonnées homogènes Dénombrements sur un corps fini § B / Applications projectives, homographies, groupe projectif § C / Espaces projectifs et espaces affines Rappel sur les espaces affines Exemple d’espace affine : le complémentaire d’un hyperplan d’un espace projectif Plongements d’un espace affine dans un espace projectif Coordonnées affines et coordonnées homogènes Intersections avec une droite, points simples et points multiples des hypersurfaces Trois théorèmes importants § D / Présentation axiomatique des plans projectif et affine Axiomes d’incidence ; cas projectif Axiomes d’incidence ; cas affine Le théorème fondamental L’équipollence des couples de points Vecteurs et translations Le corps des homothéties Commentaires sur l’axiome de Desargues § E / Espaces projectifs d’hyperplans, dualité Systèmes linéaires d’hyperplans Dualité § F / L’espace projectif des cercles Coordonnées affines et homogènes Inversions Orthogonalité Faisceaux et réseaux de cercles § G / L’espace projectif des coniques Irréductibilité Intersection de deux coniques Systèmes linéaires de coniques § H / Espaces projectifs de diviseurs en géométrie algébriqueChapitre II / Géométrie projective de dimension 1 § A / Abscisse projective, birapport, applications rationnelles Abscisse projective Birapport de quatre points Applications rationnelles § B / Birapports et permutations § C / Division harmonique Construction du quatrième harmonique § D / Homographies et involutions sur une droite projective Détermination, points doubles, formes réduites Involutions et diviseurs de degré 2 Homographies et involutions sur un faisceau linéaire de droites § E / Structure de droite projective sur une conique Représentations paramétriques d’une conique Homographies et involutions : Frégier, Pascal § F / Courbes unicursales Exemples Représentations propres, th. de Lüroth Caractérisation des cubiques unicursales Un peu de géométrie sur une cubique unicursale § G / Droite projective complexe. Groupe circulaire Projection stéréographique Exemples d’homographies et d’anti-homographies Théorème fondamental, quadrangles harmoniques Décomposition en inversions-symétries § H / Topologie des espaces projectifs Exemple des espaces projectifs réels Exemple des espaces projectifs complexesChapitre III / Classification des coniques et quadriques § A / Qu’est-ce qu’une quadrique ? § B / Classification affine et euclidienne des quadriques Généralités Classification sur un corps algébriquement clos Classification affine sur R Classification affine des coniques de R2 Classification euclidienne des coniques de R2 Classification affine des quadriques de R3, droites sur les quadriques § C / Classification projective des quadriques réelles Généralités Variétés de Segre § D / Classification des coniques et quadriques sur un corps fini Classification des coniques Classification des quadriques d’un espace de dimension 3Chapitre IV / Dualité par rapport à une quadrique § A / Conjugaison, hyperplans polaires et pôles § B / Polaires et pôles par rapport aux coniques Cas des coniques décomposées Polaires d’un point par rapport aux coniques d’un faisceau Pôles d’une droite par rapport aux coniques propres d’un faisceau Conique harmoniquement circonscrite à une autre § C / Transformations par polaires réciproques. Équations tangentielles Forme inverse et équation tangentielle d’une quadrique Équation tangentielle d’une courbe plane Transformation par polaires réciproques § D / Applications aux coniques Quelques traductions, Brianchon Correspondance entre les décompositions ponctuelles et tangentielles Faisceaux linéaires tangentiels Foyers Podaire d’un point par rapport à une coniqueAppendice / Correspondances (2, 2) Faits admis Correspondances entre deux droites projectives Correspondances (2, 2) et biquadratiques ; cas de décomposition Correspondances symétriques et symétrisables Points critiques Interprétation géométrique des correspondances (2, 2) symétriques (Théorème de Poncelet) Notions sur les courbes tracées sur une quadrique S Notions sur la composition des correspondancesBibliographie succincteIndex Issue des réflexions des peintres de la Renaissance sur la perspective, la géométrie projective s’est avérée, au début du XIXe siècle, être un outil unificateur de résultats géométriques disparates et un puissant moyen pour aller plus loin. À partir du milieu du XIXe siècle, la géométrie projective a été le fondement sur lequel s’est développée la géométrie algébrique. Dans le grand développement de celle-ci, jusqu’à l’époque contemporaine, les notions projectives y ont gardé une place de choix, notamment par le biais des systèmes linéaires. Partant d’un prérequis assez élémentaire d’algèbre, ce livre expose les fondements — tant algébriques qu’axiomatiques — de la géométrie algébrique et donne une grande place à leurs applications aux cercles, coniques et quadriques. À la portée des étudiants du premier cycle et des élèves des classes préparatoires, il est destiné à tous les amateurs de géométrie. Pierre Samuel, spécialiste d’algèbre et de géométrie algébrique, est professeur à l’Université de Paris-Sud (Orsay). ===== Table des matières Introduction Chapitre Premier / Espaces projectifs § A / Définition, repères projectifs Coordonnées homogènes Dénombrements sur un corps fini § B / Applications projectives, homographies, groupe projectif § C / Espaces projectifs et espaces affines Rappel sur les espaces affines Exemple d’espace affine : le complémentaire d’un hyperplan d’un espace projectif Plongements d’un espace affine dans un espace projectif Coordonnées affines et coordonnées homogènes Intersections avec une droite, points simples et points multiples des hypersurfaces Trois théorèmes importants § D / Présentation axiomatique des plans projectif et affine Axiomes d’incidence ; cas projectif Axiomes d’incidence ; cas affine Le théorème fondamental L’équipollence des couples de points Vecteurs et translations Le corps des homothéties Commentaires sur l’axiome de Desargues § E / Espaces projectifs d’hyperplans, dualité Systèmes linéaires d’hyperplans Dualité § F / L’espace projectif des cercles Coordonnées affines et homogènes Inversions Orthogonalité Faisceaux et réseaux de cercles § G / L’espace projectif des coniques Irréductibilité Intersection de deux coniques Systèmes linéaires de coniques § H / Espaces projectifs de diviseurs en géométrie algébrique Chapitre II / Géométrie projective de dimension 1 § A / Abscisse projective, birapport, applications rationnelles Abscisse projective Birapport de quatre points Applications rationnelles § B / Birapports et permutations § C / Division harmonique Construction du quatrième harmonique § D / Homographies et involutions sur une droite projective Détermination, points doubles, formes réduites Involutions et diviseurs de degré 2 Homographies et involutions sur un faisceau linéaire de droites § E / Structure de droite projective sur une conique Représentations paramétriques d’une conique Homographies et involutions : Frégier, Pascal § F / Courbes unicursales Exemples Représentations propres, th. de Lüroth Caractérisation des cubiques unicursales Un peu de géométrie sur une cubique unicursale § G / Droite projective complexe. Groupe circulaire Projection stéréographique Exemples d’homographies et d’anti-homographies Théorème fondamental, quadrangles harmoniques Décomposition en inversions-symétries § H / Topologie des espaces projectifs Exemple des espaces projectifs réels Exemple des espaces projectifs complexes Chapitre III / Classification des coniques et quadriques § A / Qu’est-ce qu’une quadrique ? § B / Classification affine et euclidienne des quadriques Généralités Classification sur un corps algébriquement clos Classification affine sur R Classification affine des coniques de R2 Classification euclidienne des coniques de R2 Classification affine des quadriques de R3, droites sur les quadriques § C / Classification projective des quadriques réelles Généralités Variétés de Segre § D / Classification des coniques et quadriques sur un corps fini Classification des coniques Classification des quadriques d’un espace de dimension 3 Chapitre IV / Dualité par rapport à une quadrique § A / Conjugaison, hyperplans polaires et pôles § B / Polaires et pôles par rapport aux coniques Cas des coniques décomposées Polaires d’un point par rapport aux coniques d’un faisceau Pôles d’une droite par rapport aux coniques propres d’un faisceau Conique harmoniquement circonscrite à une autre § C / Transformations par polaires réciproques. Équations tangentielles Forme inverse et équation tangentielle d’une quadrique Équation tangentielle d’une courbe plane Transformation par polaires réciproques § D / Applications aux coniques Quelques traductions, Brianchon Correspondance entre les décompositions ponctuelles et tangentielles Faisceaux linéaires tangentiels Foyers Podaire d’un point par rapport à une conique Appendice / Correspondances (2, 2) Faits admis Correspondances entre deux droites projectives Correspondances (2, 2) et biquadratiques ; cas de décomposition Correspondances symétriques et symétrisables Points critiques Interprétation géométrique des correspondances (2, 2) symétriques (Théorème de Poncelet) Notions sur les courbes tracées sur une quadrique S Notions sur la composition des correspondances Bibliographie succincte Index