Kommutative Algebra

1. Einleitung 1.1. Gegenstand der Vorlesung 1.2. Motivation aus der algebraischen Geometrie 1.3. Motivation aus der algebraischen Zahlentheorie 1.4. Literatur 1.5. Danksagung 1.6. Konventionen 2. Grundlegendes zu Ringen und Idealen 2.1. Ringe 2.2. Ringmorphismen 2.3. Ideale und Restklassenringe 2.4. Nullteiler, nilpotente Elemente, Einheiten 2.5. Schnitt, Summe, Produkt von Idealen, erzeugtes Ideal 2.6. Primideale und maximale Ideale 2.7. Radikal eines Ideals, Radikalideale, reduzierte Ringe 2.8. Das Jacobsonradikal 2.9. Produkte von Ringen 2.10. Chinesischer Restsatz 2.11. Das Spektrum eines Ringes 2.12. Das Maximalspektrum 3. Moduln 3.1. Moduln und Morphismen von Moduln 3.2. Untermoduln und Quotienten 3.3. Produkte und direkte Summen 3.4. Freie Moduln und Basen 3.5. Endlich erzeugte Moduln 3.6. Determinanten 3.7. Verallgemeinerter Cayley-Hamilton 3.8. Nakayamas Lemma 3.9. Lokale Ringe 3.10. Scholion: Kategorien und Funktoren 3.11. Exakte Sequenzen 3.12. Projektive Moduln 3.13. Moduln von endlicher Darstellung 4. Noethersche Moduln und Ringe 4.1. Noethersche Moduln 4.2. Noethersche Ringe 5. Das Tensorprodukt 5.1. Bilineare Abbildungen 5.2. Tensorprodukte 5.3. Tensorprodukt als Funktor 5.4. Flache Moduln 5.5. Restriktion und Erweiterung der Skalare 5.6. Tensorprodukt von Ringen 6. Lokalisierung 6.1. Lokalisierung von Ringen 6.2. Beziehung zwischen den Idealen von A und 6.3. Lokalisierung von Moduln 6.4. Punktweise lokale Aussagen 6.5. Aussagen für endlich erzeugte Moduln 7. Ganze Ringerweiterungen 7.1. Ganzheit 7.2. Das Going-Up-Theorem (und anderes zur Ganzheit) 7.3. Normale Integritätsbereiche und das Going-Down-Theorem 7.4. Ganzer Abschluss für quadratische Zahlkörper 7.5. Endliche Morphismen 8. Endlich erzeugte Algebren über einem Körper 8.1. Noether-Normalisierung 8.2. Der Hilbertsche Nullstellensatz 8.3. Algebraische Teilmengen 9. Dimensionstheorie 9.1. Dimension von Ringen und topologischen Räumen 9.2. Zerlegung in irreduzible Komponenten und minimale Primideale 9.3. Vorbereitungen für Krulls Hauptidealsatz 9.3.1. Nachtrag zu noetherschen Ringen 9.3.2. Artinsche Moduln 9.3.3. Artinsche Ringe 9.4. Krulls Hauptidealsatz Literatur