Lógica matemática: Capítulos complementarios

Resumen del libro A. N. Kolmogórov y A. G. Dragalin, eminentes lógicos y matemáticos soviéticos, ejercieron una marcada influencia en el estilo y la dirección de las investigaciones en el campo de la lógica y la filosofía matemática a nivel mundial. El presente libro constituye el segundo tomo de la obra «Lógica matemática» (el primer tomo, «Introducción a la lógica matemática», también fue editado por nuestra editorial), en la que se da una exposición clásica de los conceptos y resultados fundamentales de la lógica matemática con elementos de teoría de conjuntos, teoría de algoritmos y fundamentos de la matemática. Ambos tomos fueron escritos sobre la base del curso de lógica matemática dictado por los autores en la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú. En el primer capítulo del presente libro se estudia la teoría de conjuntos sobre la base del sistema axiomático de Zermelo—Fraenkel. El segundo capítulo es una introducción a la teoría de algoritmos (computabilidad según Turing, tesis de Church, conjuntos recursivos, conjuntos recursivamente enumerables). El tercer capítulo está dedicado a la teoría de la deducción (teorema de completitud del cálculo de predicados de Gödel, teorema de Löwenheim—Skolem, segundo teorema de Gödel) y concluye con el examen del programa de Hilbert de fundamentación de la matemática. Este libro está dirigido a lectores de nivel universitario interesados en la lógica matemática y los problemas filosóficos de la matemática moderna. Los autores Andréi Nikoláievich Kolmogórov Eminente matemático soviético, miembro de la Academia de Ciencias de la Unión Soviética. Nació el 25 de abril de 1903 en la ciudad de Tambov (Rusia). En 1925 concluyó sus estudios en la Primera Universidad de Moscú (célebre institución que, posteriormente, se convertiría en la actual Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú), donde trabajó como profesor desde 1931. Ejerció el cargo de jefe de varios departamentos y decano de la Facultad de Mecánica y Matemática de esta universidad. Autor de numerosos trabajos considerados clásicos en la teoría de funciones de variable real, teoría de conjuntos, topología, lógica constructiva, análisis funcional, mecánica teórica, teoría de algoritmos, teoría de la información, etcétera. Los resultados logrados por Kolmogórov en la teoría de probabilidades tienen carácter fundamental. Es bien conocida su actividad relacionada con la metodología y la organización de la enseñanza de la matemática. Ocupó el cargo de presidente de la Sociedad Matemática de Moscú. Doctor honoris causa de numerosas universidades extranjeras, miembro de diferentes academias y sociedades científicas, galardonado con premios internacionales y órdenes estatales. Albert Grigórievich Dragalin Destacado representante de la escuela soviética de constructivismo matemático. Nació el 10 de abril de 1941 en la isla Morzhebiets (Región de Arjánguelsk, Rusia). Estudió en la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú, donde trabajó desde 1966. Desde 1983 vivió en Hungría. Dirigió el Departamento de Matemática de Cálculo de la Universidad «L. Kossuth» de la ciudad de Debrecen. La Academia de Ciencias de Hungría le otorgó el título de Doctor en Ciencias en 1988. Autor de trabajos fundamentales sobre los fundamentos de la teoría de modelos y la teoría de la demostración en la lógica intuicionista, y sobre los métodos constructivos en el análisis no estándar. Prólogo a la serie (V. A. Sadóvnichi) . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Capítulo 1 Teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1. Lenguaje de la teoría ingenua de conjuntos. Paradojas de la teoría ingenua de conjuntos . . . . . . . . . . 29 1.2. Lenguaje de la teoría de conjuntos de Zermelo—Fraenkel . . . 45 1.3. Relaciones y función en el lenguaje de la teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4. Los números naturales en la teoría de conjuntos. Escritura de las afirmaciones matemáticas en el lenguaje de la teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 66 1.5. Sobre la hipótesis del continuo y el axioma de elección . . . . 80 1.6. Teoría axiomática de conjuntos de Zermelo—Fraenkel . . . . 85 Capítulo 2 Elementos de teoría de algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.1. Máquinas de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.2. Tesis de Church . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.3. Conjuntos y predicados recursivos y recursivamente enumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.4. Funciones recursivas primitivas. Numeración de Gödel. Aritmética con términos recursivos primitivos . . . . . . . . . 140 2.5. Algunos teoremas de la teoría general de algoritmos . . . . . 155 Capítulo 3 Elementos de teoría de la demostración . . . . . . . . . . . 169 3.1. Incompletitud e indecidibilidad de las teorías axiomáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.2. Teorema de Gödel de completitud del cálculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.3. Teorema de eliminación del corte . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3.4. Sobre el programa de Hilbert de fundamentación de la matemática . . . . . . . . . . . . . . 215 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Índice de autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Índice de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231