دانلود کتاب A boundary-value problem for the biharmonic equation and the iterated Laplacian in a 3D-domain with an edge

ترجمه فارسی توضیحات (ترجمه ماشینی)

یک مسئله ارزش مرزی برای معادله بی هارمونیک و لاپلاسین تکرار شده در یک دامنه سه بعدی با یک یال

بگذارید Ω یک دامنه با مرز صاف تکه‌ای باشد. به طور کلی، به دست آوردن یک راه حل تعمیم یافته u ∈ W 2 2 (Ω) معادله با شرایط مرزی با حل مکرر یک سیستم از دو معادله پواسون تحت شرایط دیریکله همگن غیرممکن است. چنین سیستمی با تنظیم v = -Δu به دست می آید. در مورد دو بعدی، این واقعیت به عنوان پارادوکس ساپونگیان در تئوری صفحات چند ضلعی ساده پشتیبانی می شود. در مقاله حاضر، مسئله سه بعدی برای دامنه ای با لبه صاف Γ بررسی شده است. اگر زاویه باز متغیر α ∈ کمتر از π در همه جای لبه باشد، آنگاه مسئله مرزی-مقدار برای معادله بی هارمونیک معادل مسئله دیریکله تکرار شده است و راه حل آن u ویژگی حفظ مثبت بودن را از این مسائل به ارث می برد. در مورد α ∈ (π, 2π)، رویه حل دو مسئله دیریکله باید با اجازه دادن به هسته بی‌بعدی و هسته مشترک عملگرها و تعیین راه‌حل u∈ (Ω) با معکوس کردن یک عملگر انتگرالی خاص اصلاح شود. روی کانتور Γ. اگر α(s) ∈ (3π/2,2π) برای یک نقطه s ∈ Γ، آنگاه یک تابع غیرمنفی f ∈ (Ω) وجود دارد که راه حل u علامت را در دامنه Ω تغییر می دهد. در مورد ترک (α = 2π در همه جا روی Γ)، باید مقیاس خاصی از فضاهای تابع وزنی را معرفی کرد. در این حالت، مثبت بودن حفظ خاصیت با شکست مواجه می شود. در برخی موقعیت‌های هندسی، مسائل مربوط به حالت خوب برای مسئله مرزی-مقدار برای معادله بی هارمونیک و خاصیت مثبت باز می‌مانند.

A boundary-value problem for the biharmonic equation and the iterated Laplacian in a 3D-domain with an edge

Let Ω be a domain with piecewise smooth boundary. In general, it is impossible to obtain a generalized solution u ∈ W 2 2 (Ω) of the equation with the boundary conditions by solving iteratively a system of two Poisson equations under homogeneous Dirichlet conditions. Such a system is obtained by setting v = −Δu. In the two-dimensional case, this fact is known as the Sapongyan paradox in the theory of simply supported polygonal plates. In the present paper, the three-dimensional problem is investigated for a domain with a smooth edge Γ. If the variable opening angle α ∈ is less than π everywhere on the edge, then the boundary-value problem for the biharmonic equation is equivalent to the iterated Dirichlet problem, and its solution u inherits the positivity preserving property from these problems. In the case α ∈ (π, 2π), the procedure of solving the two Dirichlet problems must be modified by permitting infinite-dimensional kernel and co-kernel of the operators and determining the solution u ∈ (Ω) by inverting a certain integral operator on the contour Γ. If α(s) ∈ (3π/2,2π) for a point s ∈ Γ, then there exists a nonnegative function f ∈ (Ω) for which the solution u changes sign inside the domain Ω. In the case of crack (α = 2π everywhere on Γ), one needs to introduce a special scale of weighted function spaces. In this case, the positivity preserving property fails. In some geometrical situations, the problems on well-posedness for the boundary-value problem for the biharmonic equation and the positivity property remain open.