دانلود کتاب Geometry and the imagination

ترجمه فارسی توضیحات (ترجمه ماشینی)

هندسه و تخیل

این کتاب قابل توجه به عنوان یک شاهکار واقعی از بیان ریاضی دوام آورده است. تعداد کمی کتاب ریاضی وجود دارد که هنوز به طور گسترده خوانده می شود و همچنان چیزهای زیادی برای ارائه دارد – پس از بیش از نیم قرن! کتاب مملو از ایده های ریاضی است که همیشه به وضوح و با ظرافت و بالاتر از همه با بینش نافذ توضیح داده می شود. خواندن آن هم برای مبتدیان و هم برای ریاضیدانان با تجربه لذت بخش است.

“هیلبرت و کوهن وسن” پر از حقایق جالب است، که خیلی از آنها را دوست داشتید قبلاً می دانستید، یا فکر می کردید کجا می توان آنها را پیدا کرد. کتاب با نمونه‌هایی از ساده‌ترین منحنی‌ها و سطوح، از جمله ساخت‌وسازهای رشته‌ای از چهارچوب‌های خاص و سطوح دیگر آغاز می‌شود. فصل مربوط به سیستم های منظم نقاط به گروه های کریستالوگرافی و چند وجهی منظم در $mathbb{R}^3$ منتهی می شود. در این فصل، آنها همچنین شبکه های صفحه را مورد بحث قرار می دهند. با در نظر گرفتن شبکه‌های واحد، و در صورت لزوم مقدار کمی از تئوری اعداد را به کار می‌برند، آنها بدون زحمت سری لایب‌نیتس را استخراج می‌کنند: $pi/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + – ldots$. در بخش شبکه های سه بعدی و بیشتر، نویسندگان مسائل مربوط به بسته بندی کره، از جمله مسئله معروف کپلر را در نظر می گیرند.

یکی از قابل توجه ترین فصل ها “پیکربندی های تصویری” است. در یک بخش مقدماتی کوتاه، هیلبرت و کوهن-وسن شاید مختصرترین و واضح‌ترین توصیف را از این که چرا یک هندسه‌سنج عمومی به هندسه تصویری اهمیت می‌دهد و چرا چنین چیدمان ظاهراً ساده واقعاً از نظر ساختار و ایده غنی است، ارائه می‌دهند. در اینجا، دوباره چندوجهی منظم را از منظری متفاوت می بینیم. یکی از نکات بارز این فصل، بحث دو-شش شلافلی است که به شرح 27 خط روی سطح مکعبی صاف عمومی منجر می شود. همانطور که در سراسر کتاب صادق است، نقاشی های باشکوه در این فصل به طور بی اندازه به خواننده کمک می کند.

یک بخش بسیار جذاب در فصل هندسه دیفرانسیل یازده ویژگی کره است. کدام یازده ویژگی از چنین شیء ریاضی فراگیر توجه آنها را به خود جلب کرد و چرا؟ بسیاری از ریاضیدانان با مدل های گچی سطوح موجود در بسیاری از بخش های ریاضی آشنا هستند. این کتاب شامل تصاویر برخی از مدل هایی است که در مجموعه گوتینگن یافت می شود. علاوه بر این، خطوط مرموز که این سطوح را مشخص می کنند، در نهایت توضیح داده می شوند!

فصل سینماتیک شامل یک بحث خوب در مورد پیوندها و هندسه پیکربندی نقاط و میله هایی است که به یکدیگر متصل شده اند و شاید به نوعی محدود شده اند. این موضوع در هندسه در زمان های اخیر به ویژه در کاربردهای روباتیک اهمیت فزاینده ای پیدا کرده است. این مثال دیگری از یک موقعیت ساده است که منجر به هندسه ای غنی می شود.

به سختی می توان تأثیر مستمر کتاب هیلبرت-کوهن-وسن بر ریاضیدانان قرن حاضر را دست بالا ارزیابی کرد. مطمئناً متعلق به “پانتئون” کتاب های بزرگ ریاضی است.

Geometry and the imagination

This remarkable book has endured as a true masterpiece of mathematical exposition. There are few mathematics books that are still so widely read and continue to have so much to offer–after more than half a century! The book is overflowing with mathematical ideas, which are always explained clearly and elegantly, and above all, with penetrating insight. It is a joy to read, both for beginners and experienced mathematicians.

“Hilbert and Cohn-Vossen” is full of interesting facts, many of which you wish you had known before, or had wondered where they could be found. The book begins with examples of the simplest curves and surfaces, including thread constructions of certain quadrics and other surfaces. The chapter on regular systems of points leads to the crystallographic groups and the regular polyhedra in $mathbb{R}^3$. In this chapter, they also discuss plane lattices. By considering unit lattices, and throwing in a small amount of number theory when necessary, they effortlessly derive Leibniz’s series: $pi/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + – ldots$. In the section on lattices in three and more dimensions, the authors consider sphere-packing problems, including the famous Kepler problem.

One of the most remarkable chapters is “Projective Configurations”. In a short introductory section, Hilbert and Cohn-Vossen give perhaps the most concise and lucid description of why a general geometer would care about projective geometry and why such an ostensibly plain setup is truly rich in structure and ideas. Here, we see regular polyhedra again, from a different perspective. One of the high points of the chapter is the discussion of Schlafli’s Double-Six, which leads to the description of the 27 lines on the general smooth cubic surface. As is true throughout the book, the magnificent drawings in this chapter immeasurably help the reader.

A particularly intriguing section in the chapter on differential geometry is Eleven Properties of the Sphere. Which eleven properties of such a ubiquitous mathematical object caught their discerning eye and why? Many mathematicians are familiar with the plaster models of surfaces found in many mathematics departments. The book includes pictures of some of the models that are found in the Göttingen collection. Furthermore, the mysterious lines that mark these surfaces are finally explained!

The chapter on kinematics includes a nice discussion of linkages and the geometry of configurations of points and rods that are connected and, perhaps, constrained in some way. This topic in geometry has become increasingly important in recent times, especially in applications to robotics. This is another example of a simple situation that leads to a rich geometry.

It would be hard to overestimate the continuing influence Hilbert-Cohn-Vossen’s book has had on mathematicians of this century. It surely belongs in the “pantheon” of great mathematics books.