دانلود کتاب Getting acquainted with fractals

ترجمه فارسی توضیحات (ترجمه ماشینی)

آشنایی با فراکتال ها

اولین نمونه فراکتال های پیش کامپیوتری توسط ریاضیدان فرانسوی گاستون جولیا مشاهده شد. او تعجب کرد که یک تابع چند جمله ای مختلط چگونه خواهد بود، مانند آنهایی که به نام او نامگذاری شده اند (به شکل z2 + c، که در آن c یک ثابت مختلط با اجزای واقعی و خیالی است). ایده پشت این فرمول این است که مختصات x و y یک نقطه z را گرفته و آنها را به z به شکل x + i*y وصل کنید، جایی که i جذر -1 است، این عدد را مربع کنید و سپس c، یک ثابت را اضافه کنید. سپس جفت اعداد واقعی و خیالی به دست آمده را دوباره به z وصل کنید، عملیات را دوباره اجرا کنید، و این کار را تا زمانی ادامه دهید که نتیجه از یک عدد بزرگتر شود. تعداد دفعاتی که باید معادلات را اجرا کنید تا از مداری خارج شوید که در اینجا مشخص نشده است، می توان یک رنگ اختصاص داد و سپس پیکسل (x,y) به آن رنگ تبدیل می شود، مگر اینکه آن مختصات نتوانند از خود خارج شوند. مدار، در این صورت آنها سیاه می شوند. بعدها این بنوا ماندلبروت بود که از رایانه برای تولید فراکتال استفاده کرد. یک ویژگی اساسی فراکتال ها این است که آنها دارای درجه زیادی از شباهت خود هستند، یعنی معمولاً دارای کپی های کمی در نسخه اصلی هستند و این کپی ها همچنین دارای جزئیات بی نهایت هستند. این بدان معناست که هرچه بیشتر روی یک فراکتال زوم کنید، جزئیات بیشتری به دست می آورید و این برای همیشه و همیشه ادامه دارد. کتاب خوب نوشته شده «آشنایی با فراکتال‌ها» نوشته گیلبرت هلمبرگ مقدمه‌ای ریاضی برای فراکتال‌ها با تمرکز بر سه نوع فراکتال ارائه می‌کند: فراکتال‌های منحنی، جذب‌کننده‌ها برای سیستم‌های تابع تکراری در صفحه، و مجموعه‌های جولیا. این ارائه در سطح کارشناسی است، با ارائه کافی از پیشینه ریاضی مربوطه، به عنوان مثال، جبر خطی، حساب دیفرانسیل و انتگرال، جبر، هندسه، توپولوژی، تئوری اندازه گیری و تجزیه و تحلیل پیچیده. این کتاب شامل بیش از 100 تصویر رنگی است.

Getting acquainted with fractals

The first instance of pre-computer fractals was noted by the French mathematician Gaston Julia. He wondered what a complex polynomial function would look like, such as the ones named after him (in the form of z2 + c, where c is a complex constant with real and imaginary parts). The idea behind this formula is that one takes the x and y coordinates of a point z, and plug them into z in the form of x + i*y, where i is the square root of -1, square this number, and then add c, a constant. Then plug the resulting pair of real and imaginary numbers back into z, run the operation again, and keep doing that until the result is greater than some number. The number of times you have to run the equations to get out of an ‘orbit’ not specified here can be assigned a colour and then the pixel (x,y) gets turned that colour, unless those coordinates can’t get out of their orbit, in which case they are made black. Later it was Benoit Mandelbrot who used computers to produce fractals. A basic property of fractals is that they contain a large degree of self similarity, i.e., they usually contain little copies within the original, and these copies also have infinite detail. That means the more you zoom in on a fractal, the more detail you get, and this keeps going on forever and ever. The well-written book ‘Getting acquainted with fractals’ by Gilbert Helmberg provides a mathematically oriented introduction to fractals, with a focus upon three types of fractals: fractals of curves, attractors for iterative function systems in the plane, and Julia sets. The presentation is on an undergraduate level, with an ample presentation of the corresponding mathematical background, e.g., linear algebra, calculus, algebra, geometry, topology, measure theory and complex analysis. The book contains over 100 color illustrations.