دانلود کتاب KdV & KAM

ترجمه فارسی توضیحات (ترجمه ماشینی)

KdV و KAM

در این متن، نویسندگان معادله Korteweg-de Vries (KdV) (ut = – uxxx + 6uux) را با شرایط مرزی تناوبی در نظر می گیرند. این معادله که برای توصیف امواج سطحی بلند در یک کانال باریک و کم عمق به دست می‌آید، در واقع امواج را در محیط‌های همگن، ضعیف غیرخطی و به طور کلی با پراکندگی ضعیف مدل‌سازی می‌کند.

با مشاهده معادله KdV به‌عنوان یک سیستم همیلتونی با ابعاد نامتناهی و در واقع یکپارچه‌پذیر، ابتدا مختصات زاویه عمل را می‌سازیم که مشخص می‌شود در سطح جهانی تعریف شده‌اند. آنها آشکار می کنند که تمام راه حل های معادله KdV تناوبی از نظر زمان تناوبی، شبه تناوبی یا تقریباً تناوبی هستند. همچنین، ساخت آنها منجر به نتایج جدیدی در طول مسیر می شود. متعاقباً، این مختصات به ما اجازه می‌دهد تا یک قضیه KAM کلی را برای کلاسی از pde‌های همیلتونی ادغام‌پذیر اعمال کنیم، که ثابت می‌کند خانواده‌های بزرگی از راه‌حل‌های تناوبی و شبه تناوبی تحت آشفتگی‌های همیلتونی به اندازه کافی کوچک باقی می‌مانند.

شرایط غیر انحطاط مربوطه با محاسبه چند عبارت عادی اولیه Birkhoff – یک محاسبه اساساً ابتدایی تأیید می شود.

KdV & KAM

In this text the authors consider the Korteweg-de Vries (KdV) equation (ut = – uxxx + 6uux) with periodic boundary conditions. Derived to describe long surface waves in a narrow and shallow channel, this equation in fact models waves in homogeneous, weakly nonlinear and weakly dispersive media in general.

Viewing the KdV equation as an infinite dimensional, and in fact integrable Hamiltonian system, we first construct action-angle coordinates which turn out to be globally defined. They make evident that all solutions of the periodic KdV equation are periodic, quasi-periodic or almost-periodic in time. Also, their construction leads to some new results along the way.

Subsequently, these coordinates allow us to apply a general KAM theorem for a class of integrable Hamiltonian pde’s, proving that large families of periodic and quasi-periodic solutions persist under sufficiently small Hamiltonian perturbations.

The pertinent nondegeneracy conditions are verified by calculating the first few Birkhoff normal form terms — an essentially elementary calculation.