دانلود کتاب Deformation Quantization and Index Theory

ترجمه فارسی توضیحات (ترجمه ماشینی)

کوانتیزاسیون تغییر شکل و نظریه شاخص

در مونوگراف یک رویکرد جدید برای کوانتیزاسیون تغییر شکل در یک منیفولد ساده توسعه داده شده است. این رویکرد باعث ایجاد یک تغییر ناپذیر مهم به نام انحنای Weyl می شود که یک تغییر شکل رسمی از فرم سمپلتیک است. طبقات ایزوموفی جبرهای تغییر شکل یافته توسط کلاس های همومولوژی ضرایب انحنای ویل طبقه بندی می شوند. این جبرها دارای ویژگی های مشترک بسیاری با جبر نمادهای کامل عملگرهای شبه دیفرانسیل هستند به جز اینکه به طور کلی هیچ جبر عملگر متناظری وجود ندارد. با این وجود، حساب توسعه‌یافته امکان تعریف مفهوم عنصر بیضوی و شاخص آن و همچنین اثبات یک قضیه شاخص مشابه با Atiyah-Singer را برای عملگرهای بیضوی فراهم می‌کند. فرمول شاخص مربوطه شامل انحنای Weyl و مواد معمولی است که وارد فرمول Atiyah-Singer می شوند. کاربردهای قضیه شاخص با به اصطلاح نمایش عملگر مجانبی جبر تغییر شکل یافته (کوانتیزاسیون عملگر) مرتبط است، پارامتر تغییر شکل رسمی h باید با یک عددی در محدوده یک مجموعه قابل قبول از بازه واحد با 0 جایگزین شود. نقطه حد این واقعیت که شاخص هر عملگر بیضوی یک عدد صحیح است منجر به شرایط کمی سازی ضروری می شود: شاخص هر عنصر بیضوی باید به طور مجانبی عدد صحیحی داشته باشد زیرا h بیش از مجموعه مجاز به 0 تمایل دارد. برای یک منیفولد فشرده، ساخت مستقیم نمایش عملگر مجانبی نشان می‌دهد که این شرایط نیز کافی هستند. در نهایت، یک قضیه کاهش برای کوانتیزاسیون تغییر شکل ثابت شده است که قضیه کلاسیک مارسدن-واینشتاین را تعمیم می دهد. در این مورد، قضیه شاخص قاعده کمی سازی بور- سامرفلد و چندگانگی مقادیر ویژه را می دهد.

Deformation Quantization and Index Theory

In the monograph a new approach to deformation quantization on a symplectic manifold is developed. This approach gives rise to an important invariant, the so-called Weyl curvature, which is a formal deformation of the symplectic form. The isomophy classes of the deformed algebras are classified by the cohomology classes of the coefficients of the Weyl curvature. These algebras have many common features with the algebra of complete symbols of pseudodifferential operators except that in general there are no corresponding operator algebras. Nevertheless, the developed calculus allows to define the notion of an elliptic element and its index as well as to prove an index theorem similar to that of Atiyah-Singer for elliptic operators. The corresponding index formula contains the Weyl curvature and the usual ingredients entering the Atiyah-Singer formula. Applications of the index theorem are connected with the so-called asymptotic operator representation of the deformed algebra (the operator quantization), the formal deformation parameter h should be replaced by a numerical one ranging over some admissible set of the unit interval having 0 as its limit point. The fact that the index of any elliptic operator is an integer results in necessary quantization conditions: the index of any elliptic element should be asymptotically integer-valued as h tends to 0 over the admissible set. For a compact manifold a direct construction of the asymptotic operator representation shows that these conditions are also sufficient. Finally, a reduction theorem for deformation quantization is proved generalizing the classical Marsden-Weinstein theorem. In this case the index theorem gives the Bohr-Sommerfeld quantization rule and the multiplicities of eigenvalues.